Страница 90 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

304. Решите неравенство:

а) $x^2 + 2x - 48 < 0;$

б) $2x^2 - 7x + 6 > 0;$

в) $-x^2 + 2x + 15 < 0;$

г) $-5x^2 + 11x - 6 > 0;$

д) $4x^2 - 12x + 9 > 0;$

е) $25x^2 + 30x + 9 < 0;$

ж) $-10x^2 + 9x > 0;$

з) $-2x^2 + 7x < 0.$

а) Для решения неравенства $x^2 + 2x - 48 < 0$ сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 2x - 48 = 0$.
Используем формулу для корней квадратного уравнения. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 4 + 192 = 196 = 14^2$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-2 - 14}{2} = -8$ и $x_2 = \frac{-2 + 14}{2} = 6$.
Графиком функции $y = x^2 + 2x - 48$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$).
Неравенство $y < 0$ выполняется на интервале между корнями.
Ответ: $x \in (-8; 6)$.

б) Решим неравенство $2x^2 - 7x + 6 > 0$. Найдем корни уравнения $2x^2 - 7x + 6 = 0$.
Дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 49 - 48 = 1 = 1^2$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{7 - 1}{4} = \frac{6}{4} = 1.5$ и $x_2 = \frac{7 + 1}{4} = \frac{8}{4} = 2$.
Ветви параболы $y = 2x^2 - 7x + 6$ направлены вверх ($a=2 > 0$).
Неравенство $y > 0$ выполняется, когда парабола находится выше оси Ox, то есть за пределами интервала между корнями.
Ответ: $x \in (-\infty; 1.5) \cup (2; \infty)$.

в) Решим неравенство $-x^2 + 2x + 15 < 0$. Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $x^2 - 2x - 15 > 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 15 = 0$.
Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64 = 8^2$.
Корни: $x_1 = \frac{2 - 8}{2} = -3$ и $x_2 = \frac{2 + 8}{2} = 5$.
Ветви параболы $y = x^2 - 2x - 15$ направлены вверх ($a=1 > 0$).
Неравенство $y > 0$ выполняется за пределами интервала между корнями.
Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (5; \infty)$.

г) Решим неравенство $-5x^2 + 11x - 6 > 0$. Умножим на -1 и сменим знак: $5x^2 - 11x + 6 < 0$.
Найдем корни уравнения $5x^2 - 11x + 6 = 0$.
Дискриминант $D = (-11)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 6 = 121 - 120 = 1 = 1^2$.
Корни: $x_1 = \frac{11 - 1}{10} = 1$ и $x_2 = \frac{11 + 1}{10} = 1.2$.
Ветви параболы $y = 5x^2 - 11x + 6$ направлены вверх ($a=5 > 0$).
Неравенство $y < 0$ выполняется на интервале между корнями.
Ответ: $x \in (1; 1.2)$.

д) Рассмотрим неравенство $4x^2 - 12x + 9 > 0$. Левая часть является полным квадратом: $(2x - 3)^2 > 0$.
Квадрат любого действительного числа неотрицателен, то есть $(2x - 3)^2 \ge 0$ для всех $x$.
Выражение равно нулю при $2x - 3 = 0$, то есть при $x = 1.5$.
Следовательно, строгое неравенство $(2x - 3)^2 > 0$ выполняется для всех действительных чисел, кроме $x = 1.5$.
Ответ: $x \in (-\infty; 1.5) \cup (1.5; \infty)$.

е) Рассмотрим неравенство $25x^2 + 30x + 9 < 0$. Левая часть является полным квадратом: $(5x + 3)^2 < 0$.
Квадрат любого действительного числа всегда больше или равен нулю, то есть $(5x + 3)^2 \ge 0$.
Таким образом, не существует действительных значений $x$, при которых это выражение было бы отрицательным.
Ответ: решений нет.

ж) Решим неравенство $-10x^2 + 9x > 0$. Найдем корни уравнения $-10x^2 + 9x = 0$.
Вынесем $x$ за скобки: $x(-10x + 9) = 0$.
Корни: $x_1 = 0$ и $-10x_2 + 9 = 0 \Rightarrow x_2 = 0.9$.
Ветви параболы $y = -10x^2 + 9x$ направлены вниз ($a = -10 < 0$).
Неравенство $y > 0$ выполняется, когда парабола находится выше оси Ox, то есть между корнями.
Ответ: $x \in (0; 0.9)$.

з) Решим неравенство $-2x^2 + 7x < 0$. Найдем корни уравнения $-2x^2 + 7x = 0$.
Вынесем $x$ за скобки: $x(-2x + 7) = 0$.
Корни: $x_1 = 0$ и $-2x_2 + 7 = 0 \Rightarrow x_2 = 3.5$.
Ветви параболы $y = -2x^2 + 7x$ направлены вниз ($a = -2 < 0$).
Неравенство $y < 0$ выполняется, когда парабола находится ниже оси Ox, то есть за пределами интервала между корнями.
Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (3.5; \infty)$.

305. Найдите множество решений неравенства:

a) $2x^2 + 3x - 5 \ge 0;$

б) $-6x^2 + 6x + 36 \ge 0;$

в) $-x^2 + 5 \le 0.$

a) Чтобы решить квадратное неравенство $2x^2 + 3x - 5 \ge 0$, сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2x^2 + 3x - 5 = 0$.
Для этого вычислим дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-10}{4} = -2.5$.
Теперь рассмотрим функцию $y = 2x^2 + 3x - 5$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ (равный 2) положителен. Парабола пересекает ось абсцисс в точках $x = -2.5$ и $x = 1$.
Неравенство $2x^2 + 3x - 5 \ge 0$ выполняется там, где график функции находится выше или на оси абсцисс. Для параболы с ветвями вверх это происходит на промежутках левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.
Следовательно, множество решений неравенства — это объединение двух лучей.
Ответ: $x \in (-\infty; -2.5] \cup [1; +\infty)$.

б) Рассмотрим неравенство $-6x^2 + 6x + 36 \ge 0$.
Для удобства разделим обе части неравенства на $-6$. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$x^2 - x - 6 \le 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - x - 6 = 0$.
Вычислим дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 = 5^2$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 5}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 5}{2 \cdot 1} = \frac{-4}{2} = -2$.
Функция $y = x^2 - x - 6$ представляет собой параболу с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше нуля). Она пересекает ось $x$ в точках $-2$ и $3$.
Нам нужно найти, где $x^2 - x - 6 \le 0$, то есть где график параболы находится ниже или на оси абсцисс. Это происходит на отрезке между корнями, включая сами корни.
Ответ: $x \in [-2; 3]$.

в) Решим неравенство $-x^2 + 5 \le 0$.
Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак на противоположный:
$x^2 - 5 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 5 = 0$:
$x^2 = 5$.
$x_1 = \sqrt{5}$, $x_2 = -\sqrt{5}$.
Рассмотрим функцию $y = x^2 - 5$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ (равный 1) положителен. Парабола пересекает ось $x$ в точках $-\sqrt{5}$ и $\sqrt{5}$.
Неравенство $x^2 - 5 \ge 0$ выполняется там, где график функции находится выше или на оси абсцисс. Для параболы с ветвями вверх это интервалы слева от меньшего корня и справа от большего корня.
Таким образом, решение неравенства — это объединение двух лучей.
Ответ: $x \in (-\infty; -\sqrt{5}] \cup [\sqrt{5}; +\infty)$.

306. Решите неравенство:

а) $2x^2 + 13x - 7 > 0$;

б) $-9x^2 + 12x - 4 < 0$;

в) $6x^2 - 13x + 5 \le 0$;

г) $-2x^2 - 5x + 18 \le 0$;

д) $3x^2 - 2x > 0$;

е) $8 - x^2 < 0$.

а) $2x^2 + 13x - 7 > 0$

Для решения квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения: $2x^2 + 13x - 7 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 13^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 169 + 56 = 225 = 15^2$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-13 - 15}{2 \cdot 2} = \frac{-28}{4} = -7$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-13 + 15}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = 0.5$

Графиком функции $y = 2x^2 + 13x - 7$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент $a=2 > 0$. Парабола пересекает ось Ox в точках $x = -7$ и $x = 0.5$.

Неравенство $2x^2 + 13x - 7 > 0$ выполняется, когда график функции находится выше оси Ox, то есть при $x$ левее меньшего корня и правее большего корня.

Следовательно, решение неравенства: $x \in (-\infty; -7) \cup (0.5; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; -7) \cup (0.5; +\infty)$.

б) $-9x^2 + 12x - 4 < 0$

Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный:

$9x^2 - 12x + 4 > 0$

Левая часть является полным квадратом: $(3x - 2)^2 > 0$.

Квадрат любого выражения, не равного нулю, всегда положителен. Выражение $(3x-2)^2$ равно нулю при $3x-2=0$, то есть при $x = \frac{2}{3}$.

Следовательно, неравенство $(3x-2)^2 > 0$ выполняется для всех значений $x$, кроме $x = \frac{2}{3}$.

Ответ: $(-\infty; \frac{2}{3}) \cup (\frac{2}{3}; +\infty)$.

в) $6x^2 - 13x + 5 \le 0$

Найдем корни уравнения $6x^2 - 13x + 5 = 0$.

Дискриминант: $D = (-13)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 5 = 169 - 120 = 49 = 7^2$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{13 - 7}{2 \cdot 6} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} = 0.5$

$x_2 = \frac{13 + 7}{2 \cdot 6} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}$

Графиком функции $y = 6x^2 - 13x + 5$ является парабола, ветви которой направлены вверх ($a=6 > 0$). Парабола пересекает ось Ox в точках $x = 0.5$ и $x = \frac{5}{3}$.

Неравенство $6x^2 - 13x + 5 \le 0$ выполняется, когда график функции находится ниже или на оси Ox, то есть между корнями, включая сами корни.

Следовательно, решение неравенства: $x \in [0.5; \frac{5}{3}]$.

Ответ: $[0.5; \frac{5}{3}]$.

г) $-2x^2 - 5x + 18 \le 0$

Умножим неравенство на $-1$ и сменим знак:

$2x^2 + 5x - 18 \ge 0$

Найдем корни уравнения $2x^2 + 5x - 18 = 0$.

Дискриминант: $D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-18) = 25 + 144 = 169 = 13^2$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-5 - 13}{2 \cdot 2} = \frac{-18}{4} = -4.5$

$x_2 = \frac{-5 + 13}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$

Ветви параболы $y = 2x^2 + 5x - 18$ направлены вверх ($a=2 > 0$).

Неравенство $2x^2 + 5x - 18 \ge 0$ выполняется, когда график находится выше или на оси Ox, то есть левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.

Решение: $x \in (-\infty; -4.5] \cup [2; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; -4.5] \cup [2; +\infty)$.

д) $3x^2 - 2x > 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(3x - 2) > 0$

Найдем корни уравнения $x(3x - 2) = 0$. Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{2}{3}$.

Ветви параболы $y = 3x^2 - 2x$ направлены вверх ($a=3 > 0$).

Неравенство выполняется, когда график функции находится выше оси Ox, то есть при $x$ левее $0$ и правее $\frac{2}{3}$.

Решение: $x \in (-\infty; 0) \cup (\frac{2}{3}; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; 0) \cup (\frac{2}{3}; +\infty)$.

е) $8 - x^2 < 0$

Умножим неравенство на $-1$ и сменим знак:

$x^2 - 8 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 8 = 0$.

$x^2 = 8 \implies x = \pm\sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2}$.

Корни: $x_1 = -2\sqrt{2}$ и $x_2 = 2\sqrt{2}$.

Ветви параболы $y = x^2 - 8$ направлены вверх ($a=1 > 0$).

Неравенство $x^2 - 8 > 0$ выполняется, когда график находится выше оси Ox, то есть левее меньшего корня и правее большего корня.

Решение: $x \in (-\infty; -2\sqrt{2}) \cup (2\sqrt{2}; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; -2\sqrt{2}) \cup (2\sqrt{2}; +\infty)$.

307. Найдите, при каких значениях x трёхчлен:

a) $2x^2 + 5x + 3$ принимает положительные значения;

б) $-x^2 - \frac{1}{3}x - \frac{1}{36}$ принимает отрицательные значения.

а) Чтобы найти, при каких значениях $x$ трёхчлен $2x^2 + 5x + 3$ принимает положительные значения, необходимо решить неравенство:

$2x^2 + 5x + 3 > 0$

Для этого сначала найдём корни соответствующего квадратного уравнения $2x^2 + 5x + 3 = 0$.

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, которые найдём по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 - 1}{4} = \frac{-6}{4} = -1.5$

$x_2 = \frac{-5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 + 1}{4} = \frac{-4}{4} = -1$

Графиком функции $y = 2x^2 + 5x + 3$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как старший коэффициент $a = 2$ положителен. Парабола пересекает ось Ox в точках $x = -1.5$ и $x = -1$. Следовательно, функция принимает положительные значения на промежутках, где её график находится выше оси Ox, то есть левее меньшего корня и правее большего корня.

Таким образом, решение неравенства: $x < -1.5$ или $x > -1$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1.5) \cup (-1; +\infty)$.

б) Чтобы найти, при каких значениях $x$ трёхчлен $-x^2 - \frac{1}{3}x - \frac{1}{36}$ принимает отрицательные значения, необходимо решить неравенство:

$-x^2 - \frac{1}{3}x - \frac{1}{36} < 0$

Умножим обе части неравенства на $-1$ и изменим знак неравенства на противоположный:

$x^2 + \frac{1}{3}x + \frac{1}{36} > 0$

Рассмотрим левую часть неравенства. Это выражение является полным квадратом суммы, так как $x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{6} + (\frac{1}{6})^2 = (x + \frac{1}{6})^2$.

Таким образом, неравенство можно переписать в виде:

$(x + \frac{1}{6})^2 > 0$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(x + \frac{1}{6})^2 \ge 0$. Равенство нулю достигается только в том случае, когда выражение в скобках равно нулю:

$x + \frac{1}{6} = 0 \implies x = -\frac{1}{6}$

Во всех остальных случаях, то есть при $x \neq -\frac{1}{6}$, квадрат $(x + \frac{1}{6})^2$ будет строго положительным. Следовательно, неравенство $(x + \frac{1}{6})^2 > 0$ выполняется для всех действительных чисел $x$, кроме $x = -\frac{1}{6}$.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{1}{6}) \cup (-\frac{1}{6}; +\infty)$.

308. Решите неравенство:

а) $x^2 < 16$;

б) $x^2 \ge 3$;

в) $0.2x^2 > 1.8$;

г) $-5x^2 \le x$;

д) $3x^2 < -2x$;

е) $7x < x^2$.

а) $x^2 < 16$
Перенесем 16 в левую часть неравенства, чтобы получить квадратное неравенство в стандартном виде:
$x^2 - 16 < 0$
Разложим левую часть на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$(x-4)(x+4) < 0$
Чтобы решить это неравенство, найдем корни соответствующего уравнения $(x-4)(x+4) = 0$. Корнями являются $x_1 = 4$ и $x_2 = -4$.
Эти корни разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty, -4)$, $(-4, 4)$ и $(4, \infty)$.
Рассмотрим параболу $y = x^2 - 16$. Ее ветви направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен. Следовательно, значения функции будут отрицательными (меньше нуля) между корнями.
Таким образом, решение неравенства — это интервал $(-4, 4)$.
Ответ: $x \in (-4, 4)$.

б) $x^2 \ge 3$
Перенесем 3 в левую часть неравенства:
$x^2 - 3 \ge 0$
Разложим левую часть на множители:
$(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3}) \ge 0$
Найдем корни уравнения $(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3}) = 0$. Корнями являются $x_1 = \sqrt{3}$ и $x_2 = -\sqrt{3}$.
Парабола $y = x^2 - 3$ имеет ветви, направленные вверх. Значения функции будут неотрицательными (больше или равны нулю) в точках, лежащих вне интервала между корнями, а также в самих корнях.
Следовательно, решением является объединение двух промежутков: $x \le -\sqrt{3}$ и $x \ge \sqrt{3}$.
Ответ: $x \in (-\infty, -\sqrt{3}] \cup [\sqrt{3}, \infty)$.

в) $0,2x^2 > 1,8$
Разделим обе части неравенства на 0,2 (так как 0,2 > 0, знак неравенства не меняется):
$x^2 > \frac{1,8}{0,2}$
$x^2 > 9$
Перенесем 9 в левую часть:
$x^2 - 9 > 0$
Разложим на множители:
$(x-3)(x+3) > 0$
Корни уравнения $(x-3)(x+3) = 0$ равны $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.
Парабола $y = x^2 - 9$ ветвями вверх, поэтому она принимает положительные значения вне интервала между корнями.
Решение: $x < -3$ или $x > 3$.
Ответ: $x \in (-\infty, -3) \cup (3, \infty)$.

г) $-5x^2 \le x$
Перенесем все члены в правую часть, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным:
$0 \le 5x^2 + x$
Или, что то же самое:
$5x^2 + x \ge 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(5x + 1) \ge 0$
Найдем корни уравнения $x(5x + 1) = 0$. Корни: $x_1 = 0$ и $5x+1=0 \implies x_2 = -1/5$.
Парабола $y = 5x^2 + x$ имеет ветви, направленные вверх. Значения функции неотрицательны вне интервала между корнями и в самих корнях.
Корни в порядке возрастания: $-1/5$ и $0$.
Решение: $x \le -1/5$ или $x \ge 0$.
Ответ: $x \in (-\infty, -1/5] \cup [0, \infty)$.

д) $3x^2 < -2x$
Перенесем все члены в левую часть:
$3x^2 + 2x < 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(3x + 2) < 0$
Найдем корни уравнения $x(3x + 2) = 0$. Корни: $x_1 = 0$ и $3x+2=0 \implies x_2 = -2/3$.
Парабола $y = 3x^2 + 2x$ ветвями вверх. Она принимает отрицательные значения на интервале между корнями.
Корни в порядке возрастания: $-2/3$ и $0$.
Решение: $-2/3 < x < 0$.
Ответ: $x \in (-2/3, 0)$.

е) $7x < x^2$
Перенесем все члены в правую часть:
$0 < x^2 - 7x$
Или:
$x^2 - 7x > 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(x - 7) > 0$
Найдем корни уравнения $x(x - 7) = 0$. Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 7$.
Парабола $y = x^2 - 7x$ ветвями вверх. Она принимает положительные значения вне интервала между корнями.
Решение: $x < 0$ или $x > 7$.
Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (7, \infty)$.

309. Решите неравенство:

а) $0,01x^2 \le 1;$

б) $\frac{1}{2}x^2 > 12;$

в) $4x \le -x^2;$

г) $\frac{1}{3}x^2 > \frac{1}{9};$

д) $5x^2 > 2x;$

е) $-0,3x < 0,6x^2.$

а) Решим неравенство $0,01x^2 \le 1$.
Разделим обе части неравенства на $0,01$. Так как $0,01 > 0$, знак неравенства сохраняется.
$x^2 \le \frac{1}{0,01}$
$x^2 \le 100$
Перенесем 100 в левую часть и разложим на множители по формуле разности квадратов:
$x^2 - 100 \le 0$
$(x - 10)(x + 10) \le 0$
Корнями соответствующего уравнения $(x - 10)(x + 10) = 0$ являются $x_1 = -10$ и $x_2 = 10$.
Графиком функции $y = x^2 - 100$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Неравенство $\le 0$ выполняется на промежутке между корнями, включая сами корни.
Следовательно, решением является отрезок $[-10, 10]$.
Ответ: $x \in [-10, 10]$

б) Решим неравенство $\frac{1}{2}x^2 > 12$.
Умножим обе части неравенства на 2. Так как $2 > 0$, знак неравенства сохраняется.
$x^2 > 24$
Это неравенство равносильно совокупности $x > \sqrt{24}$ или $x < -\sqrt{24}$.
Упростим корень: $\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$.
Таким образом, решение: $x < -2\sqrt{6}$ или $x > 2\sqrt{6}$.
Ответ: $x \in (-\infty, -2\sqrt{6}) \cup (2\sqrt{6}, +\infty)$

в) Решим неравенство $4x \le -x^2$.
Перенесем все слагаемые в левую часть:
$x^2 + 4x \le 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x + 4) \le 0$
Корнями соответствующего уравнения $x(x + 4) = 0$ являются $x_1 = -4$ и $x_2 = 0$.
Графиком функции $y = x^2 + 4x$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $\le 0$ выполняется на промежутке между корнями, включая сами корни.
Следовательно, решением является отрезок $[-4, 0]$.
Ответ: $x \in [-4, 0]$

г) Решим неравенство $\frac{1}{3}x^2 > \frac{1}{9}$.
Умножим обе части неравенства на 3. Так как $3 > 0$, знак неравенства сохраняется.
$x^2 > \frac{3}{9}$
$x^2 > \frac{1}{3}$
Это неравенство равносильно совокупности $x > \sqrt{\frac{1}{3}}$ или $x < -\sqrt{\frac{1}{3}}$.
Упростим корень, избавившись от иррациональности в знаменателе: $\sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Таким образом, решение: $x < -\frac{\sqrt{3}}{3}$ или $x > \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $x \in (-\infty, -\frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{3}}{3}, +\infty)$

д) Решим неравенство $5x^2 > 2x$.
Перенесем все слагаемые в левую часть:
$5x^2 - 2x > 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(5x - 2) > 0$
Корнями соответствующего уравнения $x(5x - 2) = 0$ являются $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{2}{5}$.
Графиком функции $y = 5x^2 - 2x$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $> 0$ выполняется на промежутках вне отрезка между корнями.
Следовательно, решение: $x < 0$ или $x > \frac{2}{5}$.
Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (\frac{2}{5}, +\infty)$

е) Решим неравенство $-0,3x < 0,6x^2$.
Перенесем все слагаемые в правую часть, чтобы коэффициент при $x^2$ был положительным:
$0 < 0,6x^2 + 0,3x$
Это эквивалентно неравенству:
$0,6x^2 + 0,3x > 0$
Вынесем общий множитель $0,3x$ за скобки:
$0,3x(2x + 1) > 0$
Корнями соответствующего уравнения $0,3x(2x + 1) = 0$ являются $x_1 = -\frac{1}{2} = -0,5$ и $x_2 = 0$.
Графиком функции $y = 0,6x^2 + 0,3x$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $> 0$ выполняется на промежутках вне отрезка между корнями.
Следовательно, решение: $x < -0,5$ или $x > 0$.
Ответ: $x \in (-\infty, -0,5) \cup (0, +\infty)$