Страница 92 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

318. Одна сторона прямоугольника на 7 см больше другой. Какой может быть меньшая сторона, если площадь прямоугольника не превосходит 60 $\text{см}^2$?

Пусть меньшая сторона прямоугольника равна $x$ см. Тогда, согласно условию, большая сторона равна $(x + 7)$ см. Поскольку длина стороны является положительной величиной, должно выполняться условие $x > 0$.

Площадь прямоугольника $S$ вычисляется как произведение его сторон: $S = x(x + 7)$.

По условию задачи, площадь не превосходит 60 см², что математически записывается в виде неравенства: $x(x + 7) \le 60$

Для решения этого неравенства раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное неравенство: $x^2 + 7x \le 60$
$x^2 + 7x - 60 \le 0$

Теперь найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 7x - 60 = 0$. Для этого воспользуемся формулой корней квадратного уравнения. Сначала вычислим дискриминант $D$: $D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 49 + 240 = 289$

Теперь найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - \sqrt{289}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 - 17}{2} = \frac{-24}{2} = -12$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + \sqrt{289}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 + 17}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Графиком функции $y = x^2 + 7x - 60$ является парабола, ветви которой направлены вверх (поскольку коэффициент при $x^2$ положителен). Следовательно, значения функции будут не больше нуля ($y \le 0$) на отрезке между корнями. Таким образом, решение неравенства $x^2 + 7x - 60 \le 0$ есть промежуток $[-12; 5]$.

Однако, как мы установили в начале, длина меньшей стороны $x$ должна быть строго больше нуля ($x > 0$). Объединяя это условие с полученным решением $[-12; 5]$, находим итоговый промежуток для $x$: $0 < x \le 5$

Это означает, что меньшая сторона прямоугольника может принимать любое значение больше 0 и не превышающее 5 см.

Ответ: меньшая сторона может быть любой длины в промежутке от 0 см до 5 см включительно, то есть $x \in (0; 5]$.

319. Длина прямоугольника на 5 см больше ширины. Какую ширину должен иметь прямоугольник, чтобы его площадь была больше 36 см²?

Пусть ширина прямоугольника равна $x$ см. Поскольку длина прямоугольника на 5 см больше ширины, то его длина составляет $(x + 5)$ см.

Площадь прямоугольника $S$ определяется как произведение его длины на ширину: $S = x \cdot (x + 5)$ см².

Согласно условию задачи, площадь прямоугольника должна быть больше 36 см². Это позволяет нам составить следующее неравенство: $x(x + 5) > 36$

Для решения этого неравенства раскроем скобки и приведем его к стандартному виду квадратичного неравенства: $x^2 + 5x > 36$ $x^2 + 5x - 36 > 0$

Теперь найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 5x - 36 = 0$. Мы можем сделать это с помощью дискриминанта $D$. $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169$

Найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - 13}{2} = \frac{-18}{2} = -9$ $x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 13}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Графиком функции $y = x^2 + 5x - 36$ является парабола с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при $x^2$ положителен). Значения функции положительны ($y > 0$) вне интервала между корнями. Таким образом, решение неравенства $x^2 + 5x - 36 > 0$ есть объединение двух интервалов: $x < -9$ и $x > 4$.

Так как $x$ представляет собой ширину прямоугольника, эта величина по своему физическому смыслу должна быть положительной, то есть $x > 0$.

Сравнивая это ограничение с найденным решением неравенства, мы видим, что условию задачи удовлетворяет только интервал $x > 4$.

Ответ: Ширина прямоугольника должна быть больше 4 см.

320. Решите систему неравенств:

a) $\begin{cases} x^2 - 2x - 8 < 0, \\ x^2 - 9 < 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 2x^2 - 13x + 6 < 0, \\ x^2 - 4x > 0; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x^2 - 6x - 16 > 0, \\ x^2 + 2x - 120 < 0; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 3x^2 + x - 2 \le 0, \\ x^2 + 4x - 12 \le 0; \end{cases}$

д) $\begin{cases} 2x^2 + 4x + 15 \ge 0, \\ x^2 - 9x + 8 \le 0; \end{cases}$

е) $\begin{cases} 2x^2 + 5x - 3 < 0, \\ 3x^2 + x + 11 < 0. \end{cases}$

а)

Решим систему неравенств: $\begin{cases} x^2 - 2x - 8 < 0 \\ x^2 - 9 < 0 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $x^2 - 2x - 8 < 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 2x - 8 = 0$.
Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 = 6^2$.
Корни: $x_1 = \frac{2 - 6}{2} = -2$, $x_2 = \frac{2 + 6}{2} = 4$.
Так как ветви параболы $y = x^2 - 2x - 8$ направлены вверх, неравенство $x^2 - 2x - 8 < 0$ выполняется между корнями.
Решение первого неравенства: $x \in (-2, 4)$.

2. Решим второе неравенство: $x^2 - 9 < 0$.

Разложим левую часть на множители: $(x-3)(x+3) < 0$.
Корни уравнения $(x-3)(x+3) = 0$ равны $x_1 = -3$ и $x_2 = 3$.
Ветви параболы $y = x^2 - 9$ направлены вверх, поэтому неравенство $x^2 - 9 < 0$ выполняется между корнями.
Решение второго неравенства: $x \in (-3, 3)$.

3. Найдем пересечение полученных решений: $(-2, 4) \cap (-3, 3)$.

Пересечением этих двух интервалов является интервал $(-2, 3)$.

Ответ: $x \in (-2, 3)$.

б)

Решим систему неравенств: $\begin{cases} 2x^2 - 13x + 6 < 0 \\ x^2 - 4x > 0 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $2x^2 - 13x + 6 < 0$.

Найдем корни уравнения $2x^2 - 13x + 6 = 0$.
Дискриминант $D = (-13)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 169 - 48 = 121 = 11^2$.
Корни: $x_1 = \frac{13 - 11}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = 0.5$, $x_2 = \frac{13 + 11}{2 \cdot 2} = \frac{24}{4} = 6$.
Ветви параболы $y = 2x^2 - 13x + 6$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями.
Решение первого неравенства: $x \in (0.5, 6)$.

2. Решим второе неравенство: $x^2 - 4x > 0$.

Разложим левую часть на множители: $x(x-4) > 0$.
Корни уравнения $x(x-4) = 0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$.
Ветви параболы $y = x^2 - 4x$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется вне интервала между корнями.
Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, 0) \cup (4, +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений: $(0.5, 6) \cap ((-\infty, 0) \cup (4, +\infty))$.

Пересечением является интервал $(4, 6)$.

Ответ: $x \in (4, 6)$.

в)

Решим систему неравенств: $\begin{cases} x^2 - 6x - 16 > 0 \\ x^2 + 2x - 120 < 0 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $x^2 - 6x - 16 > 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 6x - 16 = 0$.
Дискриминант $D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100 = 10^2$.
Корни: $x_1 = \frac{6 - 10}{2} = -2$, $x_2 = \frac{6 + 10}{2} = 8$.
Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется вне интервала между корнями.
Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -2) \cup (8, +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $x^2 + 2x - 120 < 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 2x - 120 = 0$.
Дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 4 + 480 = 484 = 22^2$.
Корни: $x_1 = \frac{-2 - 22}{2} = -12$, $x_2 = \frac{-2 + 22}{2} = 10$.
Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями.
Решение второго неравенства: $x \in (-12, 10)$.

3. Найдем пересечение решений: $((-\infty, -2) \cup (8, +\infty)) \cap (-12, 10)$.

Пересечение состоит из двух интервалов: $(-12, -2)$ и $(8, 10)$.

Ответ: $x \in (-12, -2) \cup (8, 10)$.

г)

Решим систему неравенств: $\begin{cases} 3x^2 + x - 2 \le 0 \\ x^2 + 4x - 12 \le 0 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $3x^2 + x - 2 \le 0$.

Найдем корни уравнения $3x^2 + x - 2 = 0$.
Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25 = 5^2$.
Корни: $x_1 = \frac{-1 - 5}{2 \cdot 3} = -1$, $x_2 = \frac{-1 + 5}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
Ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется между корнями, включая их.
Решение первого неравенства: $x \in [-1, \frac{2}{3}]$.

2. Решим второе неравенство: $x^2 + 4x - 12 \le 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 4x - 12 = 0$.
По теореме Виета: $x_1 = -6, x_2 = 2$.
Ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется между корнями, включая их.
Решение второго неравенства: $x \in [-6, 2]$.

3. Найдем пересечение решений: $[-1, \frac{2}{3}] \cap [-6, 2]$.

Пересечением является отрезок $[-1, \frac{2}{3}]$.

Ответ: $x \in [-1, \frac{2}{3}]$.

д)

Решим систему неравенств: $\begin{cases} 2x^2 + 4x + 15 \ge 0 \\ x^2 - 9x + 8 \le 0 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $2x^2 + 4x + 15 \ge 0$.

Найдем дискриминант уравнения $2x^2 + 4x + 15 = 0$.
$D = 4^2 - 4 \cdot 2 \cdot 15 = 16 - 120 = -104$.
Так как $D < 0$ и старший коэффициент $a = 2 > 0$, парабола $y = 2x^2 + 4x + 15$ полностью лежит выше оси Ox и не имеет корней. Следовательно, выражение $2x^2 + 4x + 15$ всегда положительно.
Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $x^2 - 9x + 8 \le 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 9x + 8 = 0$.
По теореме Виета: $x_1 = 1, x_2 = 8$.
Ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется между корнями, включая их.
Решение второго неравенства: $x \in [1, 8]$.

3. Найдем пересечение решений: $(-\infty, +\infty) \cap [1, 8]$.

Пересечением является отрезок $[1, 8]$.

Ответ: $x \in [1, 8]$.

е)

Решим систему неравенств: $\begin{cases} 2x^2 + 5x - 3 < 0 \\ 3x^2 + x + 11 < 0 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $2x^2 + 5x - 3 < 0$.

Найдем корни уравнения $2x^2 + 5x - 3 = 0$.
Дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.
Корни: $x_1 = \frac{-5 - 7}{2 \cdot 2} = -3$, $x_2 = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = 0.5$.
Ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется между корнями.
Решение первого неравенства: $x \in (-3, 0.5)$.

2. Решим второе неравенство: $3x^2 + x + 11 < 0$.

Найдем дискриминант уравнения $3x^2 + x + 11 = 0$.
$D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot 11 = 1 - 132 = -131$.
Так как $D < 0$ и старший коэффициент $a = 3 > 0$, парабола $y = 3x^2 + x + 11$ полностью лежит выше оси Ox. Это означает, что выражение $3x^2 + x + 11$ всегда положительно.
Следовательно, неравенство $3x^2 + x + 11 < 0$ не имеет решений.

3. Поскольку второе неравенство не имеет решений, вся система не имеет решений.

Ответ: решений нет (или $x \in \emptyset$).

321. Укажите все целые значения x, принадлежащие области определения функции:

a) $y = \sqrt{25 - x^2} + \sqrt{9x - x^2 - 14}$;

б) $y = \sqrt{8x - x^2 - 12} + \sqrt{16 - x^2}$.

а)

Область определения функции $y = \sqrt{25 - x^2} + \sqrt{9x - x^2 - 14}$ находится из условия, что подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Это приводит к системе неравенств:

$ \begin{cases} 25 - x^2 \ge 0, \\ 9x - x^2 - 14 \ge 0. \end{cases} $

Решим первое неравенство:

$25 - x^2 \ge 0$

$x^2 \le 25$

Решением является промежуток $x \in [-5; 5]$.

Решим второе неравенство:

$9x - x^2 - 14 \ge 0$

Умножим обе части на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный:

$x^2 - 9x + 14 \le 0$

Для решения найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 9x + 14 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 9, а их произведение равно 14. Корнями являются $x_1 = 2$ и $x_2 = 7$.

Так как парабола $y = x^2 - 9x + 14$ имеет ветви, направленные вверх, неравенство $x^2 - 9x + 14 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями.

Следовательно, решением второго неравенства является промежуток $x \in [2; 7]$.

Область определения исходной функции является пересечением решений обоих неравенств:

$D(y) = [-5; 5] \cap [2; 7] = [2; 5]$.

Найдем все целые значения $x$, принадлежащие этому промежутку: 2, 3, 4, 5.

Ответ: 2, 3, 4, 5.

б)

Область определения функции $y = \sqrt{8x - x^2 - 12} + \sqrt{16 - x^2}$ задается системой неравенств:

$ \begin{cases} 8x - x^2 - 12 \ge 0, \\ 16 - x^2 \ge 0. \end{cases} $

Решим первое неравенство:

$8x - x^2 - 12 \ge 0$

Умножим на $-1$:

$x^2 - 8x + 12 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 8x + 12 = 0$. По теореме Виета, сумма корней 8, произведение 12. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 6$.

Ветви параболы $y = x^2 - 8x + 12$ направлены вверх, поэтому решение неравенства $x^2 - 8x + 12 \le 0$ находится на промежутке между корнями.

Решением первого неравенства является промежуток $x \in [2; 6]$.

Решим второе неравенство:

$16 - x^2 \ge 0$

$x^2 \le 16$

Решением является промежуток $x \in [-4; 4]$.

Область определения функции — это пересечение найденных промежутков:

$D(y) = [2; 6] \cap [-4; 4] = [2; 4]$.

Найдем все целые значения $x$, принадлежащие этому промежутку: 2, 3, 4.

Ответ: 2, 3, 4.

322. Функция задана формулой $y = \frac{0,5x - 2}{3}$. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения её графика с осью x; с осью y. Является ли эта функция возрастающей или убывающей?

с осью x
Точка пересечения графика функции с осью $x$ (осью абсцисс) имеет ординату, равную нулю, то есть $y=0$. Чтобы найти абсциссу этой точки, подставим $y=0$ в уравнение функции:
$0 = \frac{0.5x - 2}{3}$
Умножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от знаменателя:
$0 \cdot 3 = 0.5x - 2$
$0 = 0.5x - 2$
Перенесем 2 в левую часть:
$2 = 0.5x$
Найдем $x$:
$x = \frac{2}{0.5} = 4$
Таким образом, координаты точки пересечения с осью $x$ — $(4; 0)$.
Ответ: $(4; 0)$.

с осью y
Точка пересечения графика функции с осью $y$ (осью ординат) имеет абсциссу, равную нулю, то есть $x=0$. Чтобы найти ординату этой точки, подставим $x=0$ в уравнение функции:
$y = \frac{0.5 \cdot 0 - 2}{3}$
$y = \frac{0 - 2}{3}$
$y = -\frac{2}{3}$
Таким образом, координаты точки пересечения с осью $y$ — $(0; -\frac{2}{3})$.
Ответ: $(0; -\frac{2}{3})$.

Является ли эта функция возрастающей или убывающей?
Данная функция является линейной. Чтобы определить, является ли она возрастающей или убывающей, представим ее в стандартном виде $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент.
$y = \frac{0.5x - 2}{3} = \frac{0.5x}{3} - \frac{2}{3} = \frac{0.5}{3}x - \frac{2}{3}$
Преобразуем коэффициент $k$:
$k = \frac{0.5}{3} = \frac{1/2}{3} = \frac{1}{6}$
Итак, функция имеет вид $y = \frac{1}{6}x - \frac{2}{3}$.
Характер монотонности линейной функции зависит от знака углового коэффициента $k$:

• Если $k > 0$, функция возрастает.
• Если $k < 0$, функция убывает.
• Если $k = 0$, функция постоянна.

В нашем случае $k = \frac{1}{6}$, что больше нуля ($k > 0$). Следовательно, функция является возрастающей на всей области определения.
Ответ: возрастающая.

323. Решите уравнение:

а) $y^4 - 24y^2 - 25 = 0;

б) $x^4 - 9x^2 + 18 = 0.$

а) $y^4 - 24y^2 - 25 = 0$

Данное уравнение является биквадратным. Для его решения введем замену переменной. Пусть $t = y^2$. Поскольку квадрат любого действительного числа является неотрицательным, должно выполняться условие $t \ge 0$.

После замены исходное уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $t$:

$t^2 - 24t - 25 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта. Коэффициенты: $a=1$, $b=-24$, $c=-25$.

Дискриминант $D$ вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-25) = 576 + 100 = 676$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{24 + \sqrt{676}}{2 \cdot 1} = \frac{24 + 26}{2} = \frac{52}{2} = 25$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{24 - \sqrt{676}}{2 \cdot 1} = \frac{24 - 26}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Теперь необходимо проверить найденные корни на соответствие условию $t \ge 0$.

Корень $t_1 = 25$ удовлетворяет условию $25 \ge 0$.

Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию $-1 \ge 0$, следовательно, это посторонний корень.

Выполним обратную замену для подходящего корня $t = 25$:

$y^2 = 25$

Из этого уравнения находим два корня для $y$:

$y_1 = 5$, $y_2 = -5$.

Ответ: $-5; 5$.

б) $x^4 - 9x^2 + 18 = 0$

Это также биквадратное уравнение. Введем замену переменной. Пусть $z = x^2$, при этом $z \ge 0$.

Подставив $z$ в уравнение, получим квадратное уравнение:

$z^2 - 9z + 18 = 0$

Решим его. Можно использовать теорему Виета или формулу корней через дискриминант. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 81 - 72 = 9$

Найдем корни для $z$:

$z_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{9 + 3}{2} = \frac{12}{2} = 6$

$z_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{9 - 3}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Оба корня, $z_1 = 6$ и $z_2 = 3$, положительны, значит, оба удовлетворяют условию $z \ge 0$.

Теперь выполним обратную замену для каждого из найденных значений $z$.

1. Если $z = 6$, то $x^2 = 6$, откуда $x_{1,2} = \pm \sqrt{6}$.

2. Если $z = 3$, то $x^2 = 3$, откуда $x_{3,4} = \pm \sqrt{3}$.

Таким образом, исходное уравнение имеет четыре действительных корня.

Ответ: $-\sqrt{6}; -\sqrt{3}; \sqrt{3}; \sqrt{6}$.

324. Слиток массой 3 кг, содержащий 80% олова и 20% свинца, сплавили с куском олова, после чего процентное содержание олова в слитке составило 94%. Сколько весил кусок олова?

Для решения задачи определим массу каждого компонента в начальном и конечном сплавах.

1. Начальное состояние (до добавления олова):
Общая масса слитка: $m_1 = 3$ кг.
Содержание олова: $80\%$.
Содержание свинца: $20\%$.

Найдем массу олова в первоначальном слитке:
$m_{\text{олова}_1} = m_1 \times 0.80 = 3 \text{ кг} \times 0.80 = 2.4$ кг.

Найдем массу свинца в первоначальном слитке:
$m_{\text{свинца}} = m_1 \times 0.20 = 3 \text{ кг} \times 0.20 = 0.6$ кг.

2. Процесс и конечное состояние:
К слитку добавили кусок чистого олова. Обозначим массу этого куска как $x$ кг.

После сплавления:
Новая общая масса слитка: $m_2 = m_1 + x = (3 + x)$ кг.
Новая масса олова в слитке: $m_{\text{олова}_2} = m_{\text{олова}_1} + x = (2.4 + x)$ кг.
Масса свинца не изменилась и осталась $0.6$ кг.

По условию, в новом слитке процентное содержание олова составило $94\%$. Это означает, что отношение массы олова к общей массе нового слитка равно $0.94$. Составим уравнение:

$\frac{m_{\text{олова}_2}}{m_2} = 0.94$

Подставим наши выражения:

$\frac{2.4 + x}{3 + x} = 0.94$

Решим это уравнение относительно $x$:

$2.4 + x = 0.94 \times (3 + x)$
$2.4 + x = 2.82 + 0.94x$
$x - 0.94x = 2.82 - 2.4$
$0.06x = 0.42$
$x = \frac{0.42}{0.06}$
$x = 7$

Следовательно, масса добавленного куска олова равна 7 кг.

Ответ: 7 кг.