Страница 85 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

290. Решите уравнение:

а) $ \frac{2}{x-2} - \frac{10}{x+3} = \frac{50}{x^2+x-6} - 1; $

б) $ \frac{x+5}{x-1} + \frac{2x-5}{x-7} - \frac{30-12x}{8x-x^2-7} = 0. $

а)

Исходное уравнение: $ \frac{2}{x-2} - \frac{10}{x+3} = \frac{50}{x^2+x-6} - 1 $.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:

$x - 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$

$x + 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3$

Рассмотрим знаменатель третьей дроби: $x^2 + x - 6$. Найдем корни квадратного трехчлена, решив уравнение $x^2 + x - 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -3$. Таким образом, $x^2 + x - 6 = (x-2)(x+3)$. Это означает, что ОДЗ: $x \neq 2$ и $x \neq -3$.

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

$ \frac{2}{x-2} - \frac{10}{x+3} - \frac{50}{(x-2)(x+3)} + 1 = 0 $

Приведем все слагаемые к общему знаменателю $(x-2)(x+3)$:

$ \frac{2(x+3)}{(x-2)(x+3)} - \frac{10(x-2)}{(x-2)(x+3)} - \frac{50}{(x-2)(x+3)} + \frac{(x-2)(x+3)}{(x-2)(x+3)} = 0 $

Запишем числитель и приравняем его к нулю:

$ 2(x+3) - 10(x-2) - 50 + (x-2)(x+3) = 0 $

Раскроем скобки и упростим выражение:

$ 2x + 6 - 10x + 20 - 50 + x^2 + 3x - 2x - 6 = 0 $

Приведем подобные слагаемые:

$ x^2 + (2x - 10x + 3x - 2x) + (6 + 20 - 50 - 6) = 0 $

$ x^2 - 7x - 30 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$ D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49 + 120 = 169 = 13^2 $

Найдем корни уравнения:

$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 13}{2} = \frac{20}{2} = 10 $

$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 13}{2} = \frac{-6}{2} = -3 $

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 2, x \neq -3$).

Корень $x = 10$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x = -3$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при этом значении знаменатель обращается в ноль. Следовательно, $x = -3$ является посторонним корнем.

Ответ: 10

б)

Исходное уравнение: $ \frac{x+5}{x-1} + \frac{2x-5}{x-7} - \frac{30-12x}{8x-x^2-7} = 0 $.

Определим область допустимых значений (ОДЗ):

$x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$

$x - 7 \neq 0 \Rightarrow x \neq 7$

Преобразуем знаменатель последней дроби: $8x - x^2 - 7 = -(x^2 - 8x + 7)$. Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 8x + 7=0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 7$. Тогда $x^2 - 8x + 7 = (x-1)(x-7)$. Следовательно, $8x - x^2 - 7 = -(x-1)(x-7)$.

ОДЗ: $x \neq 1$ и $x \neq 7$.

Преобразуем последнюю дробь в уравнении:

$ - \frac{30-12x}{8x-x^2-7} = - \frac{30-12x}{-(x-1)(x-7)} = \frac{30-12x}{(x-1)(x-7)} $

Подставим преобразованную дробь в уравнение:

$ \frac{x+5}{x-1} + \frac{2x-5}{x-7} + \frac{30-12x}{(x-1)(x-7)} = 0 $

Приведем все дроби к общему знаменателю $(x-1)(x-7)$:

$ \frac{(x+5)(x-7)}{(x-1)(x-7)} + \frac{(2x-5)(x-1)}{(x-1)(x-7)} + \frac{30-12x}{(x-1)(x-7)} = 0 $

Приравняем числитель к нулю:

$ (x+5)(x-7) + (2x-5)(x-1) + 30-12x = 0 $

Раскроем скобки и упростим:

$ (x^2 - 7x + 5x - 35) + (2x^2 - 2x - 5x + 5) + 30 - 12x = 0 $

$ x^2 - 2x - 35 + 2x^2 - 7x + 5 + 30 - 12x = 0 $

Приведем подобные слагаемые:

$ (x^2 + 2x^2) + (-2x - 7x - 12x) + (-35 + 5 + 30) = 0 $

$ 3x^2 - 21x = 0 $

Решим полученное неполное квадратное уравнение:

$ 3x(x-7) = 0 $

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$ 3x = 0 \Rightarrow x_1 = 0 $

$ x-7 = 0 \Rightarrow x_2 = 7 $

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 1, x \neq 7$).

Корень $x = 0$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x = 7$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при этом значении знаменатель обращается в ноль. Следовательно, $x = 7$ является посторонним корнем.

Ответ: 0

291. Найдите корни уравнения:

а) $ \frac{3x - 2}{x - 1} - \frac{2x + 3}{x + 3} = \frac{12x + 4}{x^2 + 2x - 3}; $

б) $ \frac{5x - 1}{x + 7} - \frac{2x + 2}{x - 3} + \frac{63}{x^2 + 4x - 21} = 0; $

В) $ \frac{x}{x^2 + 4x + 4} = \frac{4}{x^2 - 4} - \frac{16}{x^3 + 2x^2 - 4x - 8}. $

а)

Исходное уравнение: $ \frac{3x - 2}{x - 1} - \frac{2x + 3}{x + 3} = \frac{12x + 4}{x^2 + 2x - 3} $

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не могут быть равны нулю.

$x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1$

$x + 3 \neq 0 \implies x \neq -3$

Разложим на множители знаменатель в правой части: $x^2 + 2x - 3$. Корни этого квадратного трехчлена $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$. Таким образом, $x^2 + 2x - 3 = (x - 1)(x + 3)$. Ограничения на ОДЗ те же: $x \neq 1$ и $x \neq -3$.

2. Приведем все дроби к общему знаменателю $(x - 1)(x + 3)$ и умножим обе части уравнения на него, чтобы избавиться от дробей:

$(3x - 2)(x + 3) - (2x + 3)(x - 1) = 12x + 4$

3. Раскроем скобки и упростим выражение:

$(3x^2 + 9x - 2x - 6) - (2x^2 - 2x + 3x - 3) = 12x + 4$

$(3x^2 + 7x - 6) - (2x^2 + x - 3) = 12x + 4$

$3x^2 + 7x - 6 - 2x^2 - x + 3 = 12x + 4$

$x^2 + 6x - 3 = 12x + 4$

4. Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 + 6x - 12x - 3 - 4 = 0$

$x^2 - 6x - 7 = 0$

5. Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 6, а их произведение равно -7. Легко подобрать корни:

$x_1 = 7$, $x_2 = -1$

6. Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($x \neq 1$ и $x \neq -3$). Оба корня, 7 и -1, входят в ОДЗ.

Ответ: -1; 7.

б)

Исходное уравнение: $ \frac{5x - 1}{x + 7} - \frac{2x + 2}{x - 3} + \frac{63}{x^2 + 4x - 21} = 0 $

1. Найдем ОДЗ:

$x + 7 \neq 0 \implies x \neq -7$

$x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3$

Разложим на множители знаменатель третьей дроби: $x^2 + 4x - 21$. Корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -7$. Значит, $x^2 + 4x - 21 = (x - 3)(x + 7)$. Ограничения те же: $x \neq 3$ и $x \neq -7$.

2. Общий знаменатель — $(x + 7)(x - 3)$. Умножим уравнение на него:

$(5x - 1)(x - 3) - (2x + 2)(x + 7) + 63 = 0$

3. Раскроем скобки и упростим:

$(5x^2 - 15x - x + 3) - (2x^2 + 14x + 2x + 14) + 63 = 0$

$(5x^2 - 16x + 3) - (2x^2 + 16x + 14) + 63 = 0$

$5x^2 - 16x + 3 - 2x^2 - 16x - 14 + 63 = 0$

$3x^2 - 32x + 52 = 0$

4. Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-32)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 52 = 1024 - 624 = 400 = 20^2$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{32 + 20}{2 \cdot 3} = \frac{52}{6} = \frac{26}{3} = 8\frac{2}{3}$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{32 - 20}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$

5. Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 3$ и $x \neq -7$). Оба корня, $8\frac{2}{3}$ и 2, удовлетворяют условиям.

Ответ: 2; $8\frac{2}{3}$.

в)

Исходное уравнение: $ \frac{x}{x^2 + 4x + 4} = \frac{4}{x^2 - 4} - \frac{16}{x^3 + 2x^2 - 4x - 8} $

1. Разложим знаменатели на множители, чтобы найти ОДЗ и общий знаменатель:

$x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$

$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$

$x^3 + 2x^2 - 4x - 8 = x^2(x + 2) - 4(x + 2) = (x^2 - 4)(x + 2) = (x - 2)(x + 2)(x + 2) = (x - 2)(x + 2)^2$

ОДЗ: знаменатели не равны нулю, значит, $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

2. Перепишем уравнение с разложенными знаменателями:

$ \frac{x}{(x + 2)^2} = \frac{4}{(x - 2)(x + 2)} - \frac{16}{(x - 2)(x + 2)^2} $

3. Общий знаменатель — $(x - 2)(x + 2)^2$. Умножим обе части уравнения на него:

$x(x - 2) = 4(x + 2) - 16$

4. Раскроем скобки и решим полученное уравнение:

$x^2 - 2x = 4x + 8 - 16$

$x^2 - 2x = 4x - 8$

$x^2 - 2x - 4x + 8 = 0$

$x^2 - 6x + 8 = 0$

5. Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 6, произведение равно 8.

$x_1 = 4$, $x_2 = 2$

6. Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 2$ и $x \neq -2$).

Корень $x_1 = 4$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x_2 = 2$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при $x=2$ знаменатели обращаются в ноль. Это посторонний корень.

Таким образом, у уравнения только один корень.

Ответ: 4.

292. При каких значениях a:

a) сумма дробей $\frac{a+1}{a-2}$ и $\frac{a-4}{a+1}$ равна дроби $\frac{3a+3}{a^2-a-2}$;

б) разность дробей $\frac{3a-5}{a^2-1}$ и $\frac{6a-5}{a-a^2}$ равна дроби $\frac{3a+2}{a^2+a}$?

а)

Для того чтобы найти значения $a$, при которых сумма дробей $\frac{a+1}{a-2}$ и $\frac{a-4}{a+1}$ равна дроби $\frac{3a+3}{a^2-a-2}$, составим и решим уравнение:

$\frac{a+1}{a-2} + \frac{a-4}{a+1} = \frac{3a+3}{a^2-a-2}$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $a$. Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:

$a-2 \neq 0 \implies a \neq 2$

$a+1 \neq 0 \implies a \neq -1$

Знаменатель правой части $a^2-a-2$ можно разложить на множители: $a^2-a-2 = (a-2)(a+1)$. Таким образом, ОДЗ: $a \neq 2$ и $a \neq -1$.

Теперь приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $(a-2)(a+1)$:

$\frac{(a+1)(a+1)}{(a-2)(a+1)} + \frac{(a-4)(a-2)}{(a-2)(a+1)} = \frac{3a+3}{(a-2)(a+1)}$

Выполним сложение в числителе левой части:

$\frac{(a^2+2a+1) + (a^2-2a-4a+8)}{(a-2)(a+1)} = \frac{3a+3}{(a-2)(a+1)}$

$\frac{2a^2-4a+9}{(a-2)(a+1)} = \frac{3a+3}{(a-2)(a+1)}$

Поскольку знаменатели дробей равны, мы можем приравнять их числители (при условии, что $a$ входит в ОДЗ):

$2a^2-4a+9 = 3a+3$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$2a^2 - 4a - 3a + 9 - 3 = 0$

$2a^2 - 7a + 6 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 49 - 48 = 1$

Найдем корни уравнения:

$a_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$

$a_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 1}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

Теперь необходимо проверить, соответствуют ли найденные корни ОДЗ ($a \neq 2$ и $a \neq -1$).

Корень $a_1 = 2$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при этом значении знаменатели дробей обращаются в ноль. Следовательно, это посторонний корень.

Корень $a_2 = \frac{3}{2}$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $a = \frac{3}{2}$.

б)

Для того чтобы найти значения $a$, при которых разность дробей $\frac{3a-5}{a^2-1}$ и $\frac{6a-5}{a-a^2}$ равна дроби $\frac{3a+2}{a^2+a}$, составим и решим уравнение:

$\frac{3a-5}{a^2-1} - \frac{6a-5}{a-a^2} = \frac{3a+2}{a^2+a}$

Разложим знаменатели на множители, чтобы определить ОДЗ и найти общий знаменатель:

$a^2-1 = (a-1)(a+1)$

$a-a^2 = a(1-a) = -a(a-1)$

$a^2+a = a(a+1)$

ОДЗ определяется условиями: $a \neq 1$, $a \neq -1$, $a \neq 0$.

Перепишем уравнение, упростив вторую дробь:

$\frac{3a-5}{(a-1)(a+1)} - \frac{6a-5}{-a(a-1)} = \frac{3a+2}{a(a+1)}$

$\frac{3a-5}{(a-1)(a+1)} + \frac{6a-5}{a(a-1)} = \frac{3a+2}{a(a+1)}$

Общий знаменатель для всех дробей равен $a(a-1)(a+1)$. Умножим обе части уравнения на этот знаменатель, чтобы избавиться от дробей (при $a$ из ОДЗ):

$a(3a-5) + (a+1)(6a-5) = (a-1)(3a+2)$

Раскроем скобки в уравнении:

$3a^2-5a + 6a^2-5a+6a-5 = 3a^2+2a-3a-2$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

$9a^2 - 4a - 5 = 3a^2 - a - 2$

Перенесем все члены в левую часть и упростим:

$9a^2 - 3a^2 - 4a + a - 5 + 2 = 0$

$6a^2 - 3a - 3 = 0$

Разделим все уравнение на 3 для упрощения:

$2a^2 - a - 1 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$

Найдем корни:

$a_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$

$a_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($a \neq 1$, $a \neq -1$, $a \neq 0$).

Корень $a_1 = 1$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при этом значении знаменатели дробей $\frac{3a-5}{a^2-1}$ и $\frac{6a-5}{a-a^2}$ обращаются в ноль. Это посторонний корень.

Корень $a_2 = -\frac{1}{2}$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $a = -\frac{1}{2}$.

293. Найдите корни уравнения:

a) $ \frac{1}{x-7} - \frac{1}{x-1} = \frac{1}{x-10} - \frac{1}{x-9} $

б) $ \frac{1}{x+3} - \frac{1}{x+9} = \frac{1}{x+5} - \frac{1}{x+21} $

а) Дано уравнение: $\frac{1}{x-7} - \frac{1}{x-1} = \frac{1}{x-10} - \frac{1}{x-9}$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:

$x-7 \ne 0 \Rightarrow x \ne 7$

$x-1 \ne 0 \Rightarrow x \ne 1$

$x-10 \ne 0 \Rightarrow x \ne 10$

$x-9 \ne 0 \Rightarrow x \ne 9$

Приведем дроби в левой и правой частях уравнения к общему знаменателю:

$\frac{(x-1) - (x-7)}{(x-7)(x-1)} = \frac{(x-9) - (x-10)}{(x-10)(x-9)}$

Раскроем скобки в числителях и знаменателях:

$\frac{x-1-x+7}{x^2 - x - 7x + 7} = \frac{x-9-x+10}{x^2 - 9x - 10x + 90}$

Упростим выражения:

$\frac{6}{x^2 - 8x + 7} = \frac{1}{x^2 - 19x + 90}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$6(x^2 - 19x + 90) = 1(x^2 - 8x + 7)$

$6x^2 - 114x + 540 = x^2 - 8x + 7$

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные:

$6x^2 - x^2 - 114x + 8x + 540 - 7 = 0$

$5x^2 - 106x + 533 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-106)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 533 = 11236 - 10660 = 576$

$\sqrt{D} = \sqrt{576} = 24$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{106 + 24}{2 \cdot 5} = \frac{130}{10} = 13$

$x_2 = \frac{106 - 24}{2 \cdot 5} = \frac{82}{10} = 8.2$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $13$; $8.2$.

б) Дано уравнение: $\frac{1}{x+3} - \frac{1}{x+9} = \frac{1}{x+5} - \frac{1}{x+21}$.

Определим область допустимых значений (ОДЗ):

$x+3 \ne 0 \Rightarrow x \ne -3$

$x+9 \ne 0 \Rightarrow x \ne -9$

$x+5 \ne 0 \Rightarrow x \ne -5$

$x+21 \ne 0 \Rightarrow x \ne -21$

Приведем дроби в обеих частях уравнения к общему знаменателю:

$\frac{(x+9) - (x+3)}{(x+3)(x+9)} = \frac{(x+21) - (x+5)}{(x+5)(x+21)}$

Раскроем скобки и упростим:

$\frac{x+9-x-3}{x^2 + 9x + 3x + 27} = \frac{x+21-x-5}{x^2 + 21x + 5x + 105}$

$\frac{6}{x^2 + 12x + 27} = \frac{16}{x^2 + 26x + 105}$

Разделим обе части уравнения на 2:

$\frac{3}{x^2 + 12x + 27} = \frac{8}{x^2 + 26x + 105}$

Применим правило пропорции:

$3(x^2 + 26x + 105) = 8(x^2 + 12x + 27)$

$3x^2 + 78x + 315 = 8x^2 + 96x + 216$

Перенесем все слагаемые в правую часть:

$0 = 8x^2 - 3x^2 + 96x - 78x + 216 - 315$

$5x^2 + 18x - 99 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D = 18^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-99) = 324 + 1980 = 2304$

$\sqrt{D} = \sqrt{2304} = 48$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-18 + 48}{2 \cdot 5} = \frac{30}{10} = 3$

$x_2 = \frac{-18 - 48}{2 \cdot 5} = \frac{-66}{10} = -6.6$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $3$; $-6.6$.

294. (Для работы в парах.) Решите уравнение:

а) $\frac{1}{x - 4} + \frac{1}{x - 2} = \frac{1}{x + 4} + \frac{1}{x - 5};$

б) $\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x + 3} = \frac{1}{x + 28} + \frac{1}{x}.$

1) Обсудите, в каком виде удобно представить уравнение в каждом случае, и выполните соответствующие преобразования.

2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.

3) Проверьте друг у друга, правильно ли найдены корни уравнения, и исправьте ошибки, если они допущены.

а)
Исходное уравнение: $ \frac{1}{x-4} + \frac{1}{x-2} = \frac{1}{x+4} + \frac{1}{x-5} $.

Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатели не должны быть равны нулю, поэтому $x \neq 4$, $x \neq 2$, $x \neq -4$, $x \neq 5$.

Для решения подобных уравнений удобнее не приводить сразу все дроби к общему знаменателю, а предварительно сгруппировать их. Перенесем дроби из одной части уравнения в другую так, чтобы упростить последующие преобразования. Наиболее удобная группировка здесь — собрать вместе дроби со знаменателями $x-4$ и $x+4$, так как их произведение является разностью квадратов.

$ \frac{1}{x-4} - \frac{1}{x+4} = \frac{1}{x-5} - \frac{1}{x-2} $

Теперь приведем к общему знаменателю дроби в левой и правой частях уравнения по отдельности.

Левая часть: $ \frac{(x+4) - (x-4)}{(x-4)(x+4)} = \frac{x+4-x+4}{x^2 - 16} = \frac{8}{x^2 - 16} $.

Правая часть: $ \frac{(x-2) - (x-5)}{(x-5)(x-2)} = \frac{x-2-x+5}{x^2 - 2x - 5x + 10} = \frac{3}{x^2 - 7x + 10} $.

В результате преобразований получаем более простое уравнение:

$ \frac{8}{x^2 - 16} = \frac{3}{x^2 - 7x + 10} $

Используем основное свойство пропорции (перекрестное умножение), так как $x$ не может принимать значения, при которых знаменатели обращаются в ноль (это учтено в ОДЗ):

$ 8(x^2 - 7x + 10) = 3(x^2 - 16) $

$ 8x^2 - 56x + 80 = 3x^2 - 48 $

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные:

$ 8x^2 - 3x^2 - 56x + 80 + 48 = 0 $

$ 5x^2 - 56x + 128 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$ D = b^2 - 4ac = (-56)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 128 = 3136 - 2560 = 576 $

$ \sqrt{D} = \sqrt{576} = 24 $

Найдем корни уравнения:

$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{56 + 24}{2 \cdot 5} = \frac{80}{10} = 8 $

$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{56 - 24}{2 \cdot 5} = \frac{32}{10} = 3,2 $

Проверяем, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($x \neq 4, x \neq 2, x \neq -4, x \neq 5$). Оба корня $8$ и $3,2$ принадлежат области допустимых значений.

Ответ: 8; 3,2.

б)
Исходное уравнение: $ \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+3} = \frac{1}{x+28} + \frac{1}{x} $.

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq -1$, $x \neq -3$, $x \neq -28$, $x \neq 0$.

Как и в предыдущем задании, применим метод группировки слагаемых для упрощения решения. Перенесем дроби таким образом, чтобы облегчить приведение к общему знаменателю.

$ \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x} = \frac{1}{x+28} - \frac{1}{x+3} $

Приведем к общему знаменателю левую и правую части по отдельности.

Левая часть: $ \frac{x - (x+1)}{x(x+1)} = \frac{x-x-1}{x^2+x} = \frac{-1}{x^2+x} $.

Правая часть: $ \frac{(x+3) - (x+28)}{(x+28)(x+3)} = \frac{x+3-x-28}{x^2+3x+28x+84} = \frac{-25}{x^2+31x+84} $.

Получаем уравнение:

$ \frac{-1}{x^2+x} = \frac{-25}{x^2+31x+84} $

Умножим обе части уравнения на $-1$:

$ \frac{1}{x^2+x} = \frac{25}{x^2+31x+84} $

Применим перекрестное умножение:

$ 1 \cdot (x^2+31x+84) = 25 \cdot (x^2+x) $

$ x^2+31x+84 = 25x^2+25x $

Перенесем все слагаемые в правую часть и приведем подобные:

$ 25x^2 - x^2 + 25x - 31x - 84 = 0 $

$ 24x^2 - 6x - 84 = 0 $

Для упрощения вычислений разделим все члены уравнения на их общий делитель 6:

$ 4x^2 - x - 14 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:

$ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-14) = 1 + 224 = 225 $

$ \sqrt{D} = \sqrt{225} = 15 $

Найдем корни:

$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 15}{2 \cdot 4} = \frac{16}{8} = 2 $

$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 15}{2 \cdot 4} = \frac{-14}{8} = -\frac{7}{4} = -1,75 $

Проверяем корни по ОДЗ ($x \neq -1, x \neq -3, x \neq -28, x \neq 0$). Оба корня $2$ и $-1,75$ удовлетворяют этому условию.

Ответ: 2; -1,75.

295. Найдите координаты точек пересечения графиков функций:

а) $y = x^2 + x - 9$ и $y = \frac{9}{x}$;

б) $y = x^2 + 6x - 4$ и $y = \frac{24}{x}$.

а)

Для нахождения координат точек пересечения графиков функций $y = x^2 + x - 9$ и $y = \frac{9}{x}$ необходимо решить систему этих двух уравнений. Поскольку в точках пересечения значения $y$ равны, мы можем приравнять правые части уравнений:

$x^2 + x - 9 = \frac{9}{x}$

Данное уравнение имеет смысл при $x \neq 0$. Для решения умножим обе части уравнения на $x$:

$x(x^2 + x - 9) = 9$

$x^3 + x^2 - 9x = 9$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить кубическое уравнение:

$x^3 + x^2 - 9x - 9 = 0$

Разложим левую часть на множители методом группировки:

$(x^3 + x^2) - (9x + 9) = 0$

$x^2(x + 1) - 9(x + 1) = 0$

$(x + 1)(x^2 - 9) = 0$

Второй множитель является разностью квадратов, поэтому его также можно разложить:

$(x + 1)(x - 3)(x + 3) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда находим абсциссы точек пересечения:

$x + 1 = 0 \Rightarrow x_1 = -1$
$x - 3 = 0 \Rightarrow x_2 = 3$
$x + 3 = 0 \Rightarrow x_3 = -3$

Теперь найдем соответствующие ординаты ($y$), подставив каждое значение $x$ в более простое из исходных уравнений, $y = \frac{9}{x}$:

Если $x_1 = -1$, то $y_1 = \frac{9}{-1} = -9$. Точка пересечения: $(-1, -9)$.
Если $x_2 = 3$, то $y_2 = \frac{9}{3} = 3$. Точка пересечения: $(3, 3)$.
Если $x_3 = -3$, то $y_3 = \frac{9}{-3} = -3$. Точка пересечения: $(-3, -3)$.

Ответ: $(-1, -9)$, $(3, 3)$, $(-3, -3)$.

б)

Для нахождения координат точек пересечения графиков функций $y = x^2 + 6x - 4$ и $y = \frac{24}{x}$ приравняем их правые части:

$x^2 + 6x - 4 = \frac{24}{x}$

Уравнение определено при $x \neq 0$. Умножим обе части на $x$:

$x(x^2 + 6x - 4) = 24$

$x^3 + 6x^2 - 4x = 24$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$x^3 + 6x^2 - 4x - 24 = 0$

Применим метод группировки для разложения на множители:

$(x^3 + 6x^2) - (4x + 24) = 0$

$x^2(x + 6) - 4(x + 6) = 0$

$(x + 6)(x^2 - 4) = 0$

Разложим второй множитель как разность квадратов:

$(x + 6)(x - 2)(x + 2) = 0$

Находим абсциссы точек пересечения:

$x + 6 = 0 \Rightarrow x_1 = -6$
$x - 2 = 0 \Rightarrow x_2 = 2$
$x + 2 = 0 \Rightarrow x_3 = -2$

Найдем соответствующие ординаты ($y$), подставив значения $x$ в уравнение $y = \frac{24}{x}$:

Если $x_1 = -6$, то $y_1 = \frac{24}{-6} = -4$. Точка пересечения: $(-6, -4)$.
Если $x_2 = 2$, то $y_2 = \frac{24}{2} = 12$. Точка пересечения: $(2, 12)$.
Если $x_3 = -2$, то $y_3 = \frac{24}{-2} = -12$. Точка пересечения: $(-2, -12)$.

Ответ: $(-6, -4)$, $(2, 12)$, $(-2, -12)$.

296. При каких значениях a:

а) равны значения выражений

$\frac{5a + 7 - 28a^2}{20a}$ и $a^2$;

б) являются противоположными числами значения выражений

$\frac{2 - 18a^2 - a}{3a}$ и $3a^2??$

а) Чтобы значения выражений были равны, необходимо приравнять их и решить получившееся уравнение.

$\frac{5a + 7 - 28a^2}{20a} = a^2$

Прежде всего, определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $20a \neq 0$, что означает $a \neq 0$.

Теперь решим уравнение. Умножим обе части уравнения на $20a$, чтобы избавиться от дроби:

$5a + 7 - 28a^2 = a^2 \cdot 20a$

$5a + 7 - 28a^2 = 20a^3$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартный вид многочлена:

$20a^3 + 28a^2 - 5a - 7 = 0$

Для решения этого кубического уравнения применим метод группировки:

$(20a^3 + 28a^2) - (5a + 7) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$4a^2(5a + 7) - 1(5a + 7) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(5a + 7)$:

$(4a^2 - 1)(5a + 7) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1) $4a^2 - 1 = 0 \implies 4a^2 = 1 \implies a^2 = \frac{1}{4}$. Отсюда получаем два корня: $a = \frac{1}{2} = 0,5$ и $a = -\frac{1}{2} = -0,5$.

2) $5a + 7 = 0 \implies 5a = -7$. Отсюда $a = -\frac{7}{5} = -1,4$.

Все полученные корни $a_1 = 0,5$, $a_2 = -0,5$, $a_3 = -1,4$ удовлетворяют условию ОДЗ ($a \neq 0$).

Ответ: -1,4; -0,5; 0,5.

б) Чтобы значения выражений были противоположными числами, их сумма должна равняться нулю. Составим и решим соответствующее уравнение.

$\frac{2 - 18a^2 - a}{3a} + 3a^2 = 0$

ОДЗ: знаменатель $3a \neq 0$, следовательно, $a \neq 0$.

Умножим обе части уравнения на $3a$, чтобы избавиться от знаменателя:

$2 - 18a^2 - a + 3a^2 \cdot 3a = 0$

$2 - 18a^2 - a + 9a^3 = 0$

Запишем уравнение в стандартном виде:

$9a^3 - 18a^2 - a + 2 = 0$

Применим метод группировки:

$(9a^3 - 18a^2) - (a - 2) = 0$

Вынесем общие множители:

$9a^2(a - 2) - 1(a - 2) = 0$

$(9a^2 - 1)(a - 2) = 0$

Рассмотрим два случая, когда произведение равно нулю:

1) $9a^2 - 1 = 0 \implies 9a^2 = 1 \implies a^2 = \frac{1}{9}$. Отсюда два корня: $a = \frac{1}{3}$ и $a = -\frac{1}{3}$.

2) $a - 2 = 0 \implies a = 2$.

Все найденные корни $a_1 = \frac{1}{3}$, $a_2 = -\frac{1}{3}$, $a_3 = 2$ удовлетворяют условию ОДЗ ($a \neq 0$).

Ответ: $-\frac{1}{3}; \frac{1}{3}; 2$.