Номер 292, страница 85 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

292. При каких значениях a:

a) сумма дробей $\frac{a+1}{a-2}$ и $\frac{a-4}{a+1}$ равна дроби $\frac{3a+3}{a^2-a-2}$;

б) разность дробей $\frac{3a-5}{a^2-1}$ и $\frac{6a-5}{a-a^2}$ равна дроби $\frac{3a+2}{a^2+a}$?

а)

Для того чтобы найти значения $a$, при которых сумма дробей $\frac{a+1}{a-2}$ и $\frac{a-4}{a+1}$ равна дроби $\frac{3a+3}{a^2-a-2}$, составим и решим уравнение:

$\frac{a+1}{a-2} + \frac{a-4}{a+1} = \frac{3a+3}{a^2-a-2}$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $a$. Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:

$a-2 \neq 0 \implies a \neq 2$

$a+1 \neq 0 \implies a \neq -1$

Знаменатель правой части $a^2-a-2$ можно разложить на множители: $a^2-a-2 = (a-2)(a+1)$. Таким образом, ОДЗ: $a \neq 2$ и $a \neq -1$.

Теперь приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $(a-2)(a+1)$:

$\frac{(a+1)(a+1)}{(a-2)(a+1)} + \frac{(a-4)(a-2)}{(a-2)(a+1)} = \frac{3a+3}{(a-2)(a+1)}$

Выполним сложение в числителе левой части:

$\frac{(a^2+2a+1) + (a^2-2a-4a+8)}{(a-2)(a+1)} = \frac{3a+3}{(a-2)(a+1)}$

$\frac{2a^2-4a+9}{(a-2)(a+1)} = \frac{3a+3}{(a-2)(a+1)}$

Поскольку знаменатели дробей равны, мы можем приравнять их числители (при условии, что $a$ входит в ОДЗ):

$2a^2-4a+9 = 3a+3$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$2a^2 - 4a - 3a + 9 - 3 = 0$

$2a^2 - 7a + 6 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 49 - 48 = 1$

Найдем корни уравнения:

$a_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$

$a_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 1}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

Теперь необходимо проверить, соответствуют ли найденные корни ОДЗ ($a \neq 2$ и $a \neq -1$).

Корень $a_1 = 2$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при этом значении знаменатели дробей обращаются в ноль. Следовательно, это посторонний корень.

Корень $a_2 = \frac{3}{2}$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $a = \frac{3}{2}$.

б)

Для того чтобы найти значения $a$, при которых разность дробей $\frac{3a-5}{a^2-1}$ и $\frac{6a-5}{a-a^2}$ равна дроби $\frac{3a+2}{a^2+a}$, составим и решим уравнение:

$\frac{3a-5}{a^2-1} - \frac{6a-5}{a-a^2} = \frac{3a+2}{a^2+a}$

Разложим знаменатели на множители, чтобы определить ОДЗ и найти общий знаменатель:

$a^2-1 = (a-1)(a+1)$

$a-a^2 = a(1-a) = -a(a-1)$

$a^2+a = a(a+1)$

ОДЗ определяется условиями: $a \neq 1$, $a \neq -1$, $a \neq 0$.

Перепишем уравнение, упростив вторую дробь:

$\frac{3a-5}{(a-1)(a+1)} - \frac{6a-5}{-a(a-1)} = \frac{3a+2}{a(a+1)}$

$\frac{3a-5}{(a-1)(a+1)} + \frac{6a-5}{a(a-1)} = \frac{3a+2}{a(a+1)}$

Общий знаменатель для всех дробей равен $a(a-1)(a+1)$. Умножим обе части уравнения на этот знаменатель, чтобы избавиться от дробей (при $a$ из ОДЗ):

$a(3a-5) + (a+1)(6a-5) = (a-1)(3a+2)$

Раскроем скобки в уравнении:

$3a^2-5a + 6a^2-5a+6a-5 = 3a^2+2a-3a-2$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

$9a^2 - 4a - 5 = 3a^2 - a - 2$

Перенесем все члены в левую часть и упростим:

$9a^2 - 3a^2 - 4a + a - 5 + 2 = 0$

$6a^2 - 3a - 3 = 0$

Разделим все уравнение на 3 для упрощения:

$2a^2 - a - 1 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$

Найдем корни:

$a_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$

$a_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($a \neq 1$, $a \neq -1$, $a \neq 0$).

Корень $a_1 = 1$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при этом значении знаменатели дробей $\frac{3a-5}{a^2-1}$ и $\frac{6a-5}{a-a^2}$ обращаются в ноль. Это посторонний корень.

Корень $a_2 = -\frac{1}{2}$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $a = -\frac{1}{2}$.