Номер 295, страница 85 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

295. Найдите координаты точек пересечения графиков функций:

а) $y = x^2 + x - 9$ и $y = \frac{9}{x}$;

б) $y = x^2 + 6x - 4$ и $y = \frac{24}{x}$.

а)

Для нахождения координат точек пересечения графиков функций $y = x^2 + x - 9$ и $y = \frac{9}{x}$ необходимо решить систему этих двух уравнений. Поскольку в точках пересечения значения $y$ равны, мы можем приравнять правые части уравнений:

$x^2 + x - 9 = \frac{9}{x}$

Данное уравнение имеет смысл при $x \neq 0$. Для решения умножим обе части уравнения на $x$:

$x(x^2 + x - 9) = 9$

$x^3 + x^2 - 9x = 9$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить кубическое уравнение:

$x^3 + x^2 - 9x - 9 = 0$

Разложим левую часть на множители методом группировки:

$(x^3 + x^2) - (9x + 9) = 0$

$x^2(x + 1) - 9(x + 1) = 0$

$(x + 1)(x^2 - 9) = 0$

Второй множитель является разностью квадратов, поэтому его также можно разложить:

$(x + 1)(x - 3)(x + 3) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда находим абсциссы точек пересечения:

$x + 1 = 0 \Rightarrow x_1 = -1$
$x - 3 = 0 \Rightarrow x_2 = 3$
$x + 3 = 0 \Rightarrow x_3 = -3$

Теперь найдем соответствующие ординаты ($y$), подставив каждое значение $x$ в более простое из исходных уравнений, $y = \frac{9}{x}$:

Если $x_1 = -1$, то $y_1 = \frac{9}{-1} = -9$. Точка пересечения: $(-1, -9)$.
Если $x_2 = 3$, то $y_2 = \frac{9}{3} = 3$. Точка пересечения: $(3, 3)$.
Если $x_3 = -3$, то $y_3 = \frac{9}{-3} = -3$. Точка пересечения: $(-3, -3)$.

Ответ: $(-1, -9)$, $(3, 3)$, $(-3, -3)$.

б)

Для нахождения координат точек пересечения графиков функций $y = x^2 + 6x - 4$ и $y = \frac{24}{x}$ приравняем их правые части:

$x^2 + 6x - 4 = \frac{24}{x}$

Уравнение определено при $x \neq 0$. Умножим обе части на $x$:

$x(x^2 + 6x - 4) = 24$

$x^3 + 6x^2 - 4x = 24$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$x^3 + 6x^2 - 4x - 24 = 0$

Применим метод группировки для разложения на множители:

$(x^3 + 6x^2) - (4x + 24) = 0$

$x^2(x + 6) - 4(x + 6) = 0$

$(x + 6)(x^2 - 4) = 0$

Разложим второй множитель как разность квадратов:

$(x + 6)(x - 2)(x + 2) = 0$

Находим абсциссы точек пересечения:

$x + 6 = 0 \Rightarrow x_1 = -6$
$x - 2 = 0 \Rightarrow x_2 = 2$
$x + 2 = 0 \Rightarrow x_3 = -2$

Найдем соответствующие ординаты ($y$), подставив значения $x$ в уравнение $y = \frac{24}{x}$:

Если $x_1 = -6$, то $y_1 = \frac{24}{-6} = -4$. Точка пересечения: $(-6, -4)$.
Если $x_2 = 2$, то $y_2 = \frac{24}{2} = 12$. Точка пересечения: $(2, 12)$.
Если $x_3 = -2$, то $y_3 = \frac{24}{-2} = -12$. Точка пересечения: $(-2, -12)$.

Ответ: $(-6, -4)$, $(2, 12)$, $(-2, -12)$.