Номер 288, страница 84 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

288. При каких значениях a равно нулю значение дроби:

a) $ \frac{a^3 - 9a}{a^2 + a - 12} $;

б) $ \frac{a^5 + 2a^4}{a^3 + a + 10} $;

в) $ \frac{a^5 - 4a^4 + 4a^3}{a^4 - 16} $?

а)

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю.

1. Найдем значения $a$, при которых числитель $a^3 - 9a$ равен нулю:
$a^3 - 9a = 0$
$a(a^2 - 9) = 0$
$a(a - 3)(a + 3) = 0$
Отсюда получаем возможные значения: $a_1 = 0$, $a_2 = 3$, $a_3 = -3$.

2. Теперь найдем значения $a$, при которых знаменатель $a^2 + a - 12$ равен нулю, чтобы исключить их.
$a^2 + a - 12 = 0$
Используя теорему Виета, находим корни: произведение корней равно $-12$, а их сумма равна $-1$. Это числа $3$ и $-4$.
Следовательно, знаменатель равен нулю при $a = 3$ и $a = -4$. Эти значения $a$ недопустимы.

3. Сравним значения, полученные в пункте 1, с недопустимыми значениями из пункта 2.
Значение $a = 3$ обращает в ноль и числитель, и знаменатель, поэтому оно не является решением.
Значения $a = 0$ и $a = -3$ обращают в ноль только числитель.

Ответ: $0; -3$.

б)

1. Найдем значения $a$, при которых числитель $a^5 + 2a^4$ равен нулю:
$a^5 + 2a^4 = 0$
$a^4(a + 2) = 0$
Отсюда получаем возможные значения: $a_1 = 0$, $a_2 = -2$.

2. Проверим, обращается ли знаменатель $a^3 + a + 10$ в ноль при этих значениях $a$.
При $a = 0$: $0^3 + 0 + 10 = 10 \neq 0$. Следовательно, $a=0$ является решением.
При $a = -2$: $(-2)^3 + (-2) + 10 = -8 - 2 + 10 = 0$. Так как знаменатель равен нулю, значение $a=-2$ не является решением.

3. Единственное значение, при котором дробь равна нулю, это $a=0$.

Ответ: $0$.

в)

1. Найдем значения $a$, при которых числитель $a^5 - 4a^4 + 4a^3$ равен нулю:
$a^5 - 4a^4 + 4a^3 = 0$
$a^3(a^2 - 4a + 4) = 0$
$a^3(a - 2)^2 = 0$
Отсюда получаем возможные значения: $a_1 = 0$, $a_2 = 2$.

2. Теперь найдем значения $a$, при которых знаменатель $a^4 - 16$ равен нулю.
$a^4 - 16 = 0$
$(a^2 - 4)(a^2 + 4) = 0$
$(a - 2)(a + 2)(a^2 + 4) = 0$
Множитель $a^2 + 4$ всегда положителен и не может быть равен нулю. Знаменатель равен нулю при $a = 2$ и $a = -2$. Эти значения $a$ недопустимы.

3. Сравним значения из пункта 1 с недопустимыми значениями из пункта 2.
Значение $a = 2$ обращает в ноль и числитель, и знаменатель, поэтому оно не является решением.
Значение $a = 0$ обращает в ноль только числитель.

Ответ: $0$.