Номер 284, страница 81 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

284. Найдите корни уравнения:

а) $y^7 - y^6 + 8y = 8;$

б) $u^7 - u^6 = 64u - 64.$

а) $y^7 - y^6 + 8y = 8$

Для решения уравнения перенесем все его члены в левую часть:

$y^7 - y^6 + 8y - 8 = 0$

Применим метод группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

$(y^7 - y^6) + (8y - 8) = 0$

Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе:

$y^6(y - 1) + 8(y - 1) = 0$

Теперь вынесем общий для обоих слагаемых множитель $(y - 1)$ за скобки:

$(y - 1)(y^6 + 8) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Поэтому рассмотрим два возможных случая:

1) $y - 1 = 0$

Отсюда находим первый корень: $y = 1$.

2) $y^6 + 8 = 0$

Отсюда получаем $y^6 = -8$.

Так как левая часть уравнения, $y^6$, представляет собой переменную в четной степени, ее значение не может быть отрицательным для любого действительного числа $y$ (т.е. $y^6 \ge 0$). Правая часть уравнения равна $-8$, что является отрицательным числом. Следовательно, это уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, у исходного уравнения есть только один действительный корень.

Ответ: $1$.

б) $u^7 - u^6 = 64u - 64$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить уравнение, равное нулю:

$u^7 - u^6 - 64u + 64 = 0$

Используем метод группировки:

$(u^7 - u^6) - (64u - 64) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы. Из первой группы вынесем $u^6$, а из второй $64$:

$u^6(u - 1) - 64(u - 1) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(u - 1)$ за скобки:

$(u - 1)(u^6 - 64) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1) $u - 1 = 0$

Отсюда получаем первый корень: $u = 1$.

2) $u^6 - 64 = 0$

Отсюда получаем $u^6 = 64$.

Мы знаем, что $64 = 2^6$. Таким образом, уравнение принимает вид $u^6 = 2^6$.

Поскольку показатель степени (6) является четным числом, это уравнение имеет два действительных корня:

$u = 2$ и $u = -2$.

В результате мы нашли три действительных корня для исходного уравнения.

Ответ: $-2; 1; 2$.