Страница 81 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

280. Найдите координаты точек пересечения с осями координат графика функции:

а) $y = x^4 - 5x^2 + 4;$

б) $y = x^4 + 3x^2 - 10;$

в) $y = x^4 - 20x^2 + 100;$

г) $y = 4x^4 + 16x^2.$

а) $y = x^4 - 5x^2 + 4$

1. Найдём точку пересечения с осью ординат (осью $Oy$). Для этого подставим $x=0$ в уравнение функции:
$y = 0^4 - 5 \cdot 0^2 + 4 = 4$.
Координаты точки пересечения с осью $Oy$: $(0; 4)$.

2. Найдём точки пересечения с осью абсцисс (осью $Ox$). Для этого приравняем $y$ к нулю:
$x^4 - 5x^2 + 4 = 0$.
Это биквадратное уравнение. Сделаем замену: пусть $t = x^2$, где $t \ge 0$.
Уравнение примет вид: $t^2 - 5t + 4 = 0$.
Решим это квадратное уравнение по теореме Виета:
$t_1 + t_2 = 5$
$t_1 \cdot t_2 = 4$
Отсюда $t_1 = 1$, $t_2 = 4$. Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$.
Вернемся к переменной $x$:
При $t=1$: $x^2 = 1 \implies x_1 = -1, x_2 = 1$.
При $t=4$: $x^2 = 4 \implies x_3 = -2, x_4 = 2$.
Координаты точек пересечения с осью $Ox$: $(-2; 0)$, $(-1; 0)$, $(1; 0)$, $(2; 0)$.

Ответ: пересечение с осью $Oy$ в точке $(0; 4)$; пересечение с осью $Ox$ в точках $(-2; 0)$, $(-1; 0)$, $(1; 0)$, $(2; 0)$.

б) $y = x^4 + 3x^2 - 10$

1. Найдём точку пересечения с осью $Oy$ (при $x=0$):
$y = 0^4 + 3 \cdot 0^2 - 10 = -10$.
Координаты точки пересечения с осью $Oy$: $(0; -10)$.

2. Найдём точки пересечения с осью $Ox$ (при $y=0$):
$x^4 + 3x^2 - 10 = 0$.
Замена: $t = x^2$, где $t \ge 0$.
$t^2 + 3t - 10 = 0$.
Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$.
$t = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm 7}{2}$.
$t_1 = \frac{-3 + 7}{2} = 2$.
$t_2 = \frac{-3 - 7}{2} = -5$.
Корень $t_2 = -5$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$.
Возвращаемся к переменной $x$ с корнем $t_1 = 2$:
$x^2 = 2 \implies x = \pm\sqrt{2}$.
Координаты точек пересечения с осью $Ox$: $(-\sqrt{2}; 0)$, $(\sqrt{2}; 0)$.

Ответ: пересечение с осью $Oy$ в точке $(0; -10)$; пересечение с осью $Ox$ в точках $(-\sqrt{2}; 0)$, $(\sqrt{2}; 0)$.

в) $y = x^4 - 20x^2 + 100$

1. Найдём точку пересечения с осью $Oy$ (при $x=0$):
$y = 0^4 - 20 \cdot 0^2 + 100 = 100$.
Координаты точки пересечения с осью $Oy$: $(0; 100)$.

2. Найдём точки пересечения с осью $Ox$ (при $y=0$):
$x^4 - 20x^2 + 100 = 0$.
Заметим, что левая часть является полным квадратом:
$(x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 10 + 10^2 = 0$
$(x^2 - 10)^2 = 0$.
Отсюда $x^2 - 10 = 0 \implies x^2 = 10$.
$x = \pm\sqrt{10}$.
Координаты точек пересечения с осью $Ox$: $(-\sqrt{10}; 0)$, $(\sqrt{10}; 0)$.

Ответ: пересечение с осью $Oy$ в точке $(0; 100)$; пересечение с осью $Ox$ в точках $(-\sqrt{10}; 0)$, $(\sqrt{10}; 0)$.

г) $y = 4x^4 + 16x^2$

1. Найдём точку пересечения с осью $Oy$ (при $x=0$):
$y = 4 \cdot 0^4 + 16 \cdot 0^2 = 0$.
Координаты точки пересечения с осью $Oy$: $(0; 0)$. Эта точка также является точкой пересечения с осью $Ox$, так как это начало координат.

2. Найдём точки пересечения с осью $Ox$ (при $y=0$):
$4x^4 + 16x^2 = 0$.
Вынесем общий множитель $4x^2$ за скобки:
$4x^2(x^2 + 4) = 0$.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
1) $4x^2 = 0 \implies x = 0$.
2) $x^2 + 4 = 0 \implies x^2 = -4$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.
Таким образом, единственная точка пересечения с осью $Ox$ — это точка с координатой $x=0$. Координаты точки: $(0; 0)$.

Ответ: график функции пересекает оси координат в единственной точке - начале координат $(0; 0)$.

281. Разложите на множители трёхчлен:

а) $x^4 - 47x^2 - 98;$

б) $x^4 - 85x^2 + 1764.$

а) $x^4 - 47x^2 - 98$

Для разложения данного биквадратного трёхчлена на множители введём замену переменной. Пусть $y = x^2$. Тогда исходное выражение примет вид квадратного трёхчлена относительно $y$:

$y^2 - 47y - 98$

Чтобы разложить этот трёхчлен на множители, найдём его корни, решив квадратное уравнение $y^2 - 47y - 98 = 0$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-47)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-98) = 2209 + 392 = 2601$

Найдём корни уравнения:

$y_1 = \frac{-(-47) + \sqrt{2601}}{2 \cdot 1} = \frac{47 + 51}{2} = \frac{98}{2} = 49$

$y_2 = \frac{-(-47) - \sqrt{2601}}{2 \cdot 1} = \frac{47 - 51}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Теперь мы можем разложить квадратный трёхчлен на множители по формуле $a(y - y_1)(y - y_2)$:

$y^2 - 47y - 98 = (y - 49)(y - (-2)) = (y - 49)(y + 2)$

Вернёмся к исходной переменной $x$, подставив $y = x^2$:

$(x^2 - 49)(x^2 + 2)$

Первый множитель $(x^2 - 49)$ является разностью квадратов и может быть разложен дальше: $x^2 - 49 = x^2 - 7^2 = (x - 7)(x + 7)$.

Второй множитель $(x^2 + 2)$ не раскладывается на множители с действительными коэффициентами.

Таким образом, окончательное разложение на множители имеет вид:

$(x - 7)(x + 7)(x^2 + 2)$

Ответ: $(x - 7)(x + 7)(x^2 + 2)$

б) $x^4 - 85x^2 + 1764$

Это также биквадратный трёхчлен. Сделаем замену $y = x^2$:

$y^2 - 85y + 1764$

Найдём корни соответствующего квадратного уравнения $y^2 - 85y + 1764 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-85)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1764 = 7225 - 7056 = 169$

Найдём корни уравнения:

$y_1 = \frac{-(-85) + \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{85 + 13}{2} = \frac{98}{2} = 49$

$y_2 = \frac{-(-85) - \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{85 - 13}{2} = \frac{72}{2} = 36$

Разложим трёхчлен на множители:

$y^2 - 85y + 1764 = (y - 49)(y - 36)$

Произведём обратную замену $y = x^2$:

$(x^2 - 49)(x^2 - 36)$

Оба множителя являются разностями квадратов:

$x^2 - 49 = x^2 - 7^2 = (x - 7)(x + 7)$

$x^2 - 36 = x^2 - 6^2 = (x - 6)(x + 6)$

Следовательно, окончательное разложение на множители:

$(x - 7)(x + 7)(x - 6)(x + 6)$

Ответ: $(x - 7)(x + 7)(x - 6)(x + 6)$

282. Решите уравнение:

а) $(x^2 - 1)(x^2 + 1) - 4(x^2 - 11) = 0;$

б) $3x^2(x - 1)(x + 1) - 10x^2 + 4 = 0.$

а) $(x^2 - 1)(x^2 + 1) - 4(x^2 - 11) = 0$

Сначала преобразуем левую часть уравнения. Воспользуемся формулой разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ для первого слагаемого:

$(x^2 - 1)(x^2 + 1) = (x^2)^2 - 1^2 = x^4 - 1$

Теперь подставим это выражение обратно в уравнение и раскроем вторые скобки:

$(x^4 - 1) - 4(x^2 - 11) = 0$

$x^4 - 1 - 4x^2 + 44 = 0$

Приведем подобные члены:

$x^4 - 4x^2 + 43 = 0$

Получили биквадратное уравнение. Введем замену переменной. Пусть $y = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $y \ge 0$.

Уравнение примет вид:

$y^2 - 4y + 43 = 0$

Для решения этого квадратного уравнения найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 43 = 16 - 172 = -156$

Поскольку дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение относительно $y$ не имеет действительных корней. Это означает, что не существует такого действительного значения $y=x^2$, которое удовлетворяло бы уравнению. Следовательно, исходное уравнение также не имеет действительных корней.

Ответ: корней нет.

б) $3x^2(x - 1)(x + 1) - 10x^2 + 4 = 0$

Сначала упростим выражение $(x - 1)(x + 1)$, используя формулу разности квадратов:

$(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1$

Подставим это в исходное уравнение:

$3x^2(x^2 - 1) - 10x^2 + 4 = 0$

Раскроем скобки:

$3x^4 - 3x^2 - 10x^2 + 4 = 0$

Приведем подобные члены:

$3x^4 - 13x^2 + 4 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной: пусть $y = x^2$, где $y \ge 0$.

Получим квадратное уравнение относительно $y$:

$3y^2 - 13y + 4 = 0$

Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 169 - 48 = 121 = 11^2$

Найдем корни уравнения для $y$:

$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 \pm 11}{2 \cdot 3} = \frac{13 \pm 11}{6}$

$y_1 = \frac{13 + 11}{6} = \frac{24}{6} = 4$

$y_2 = \frac{13 - 11}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Оба значения $y$ положительны, поэтому они являются допустимыми решениями для $y=x^2$.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$.

1. При $y = 4$ имеем $x^2 = 4$, откуда $x = \pm \sqrt{4}$, то есть $x_{1,2} = \pm 2$.

2. При $y = \frac{1}{3}$ имеем $x^2 = \frac{1}{3}$, откуда $x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$, то есть $x_{3,4} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Таким образом, уравнение имеет четыре действительных корня.

Ответ: $\pm 2; \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$.

283. Решите уравнение:

а) $x^5 + x^4 - 6x^3 - 6x^2 + 5x + 5 = 0;$

б) $x^5 - x^4 - 2x^3 + 2x^2 - 3x + 3 = 0.$

а) $x^5 + x^4 - 6x^3 - 6x^2 + 5x + 5 = 0$

Данное уравнение является многочленом пятой степени. Для его решения применим метод группировки слагаемых.

Сгруппируем слагаемые попарно:

$(x^5 + x^4) - (6x^3 + 6x^2) + (5x + 5) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы за скобки:

$x^4(x + 1) - 6x^2(x + 1) + 5(x + 1) = 0$

Теперь мы видим общий множитель $(x + 1)$, который можно вынести за скобки всего выражения:

$(x + 1)(x^4 - 6x^2 + 5) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассматриваем два случая:

1) $x + 1 = 0$

$x_1 = -1$

2) $x^4 - 6x^2 + 5 = 0$

Это биквадратное уравнение. Для его решения введем замену переменной. Пусть $y = x^2$. Так как $x^2 \ge 0$, то и $y \ge 0$. Уравнение принимает вид квадратного:

$y^2 - 6y + 5 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 6, а их произведение равно 5. Легко подобрать корни:

$y_1 = 1$

$y_2 = 5$

Оба корня неотрицательны, поэтому они нам подходят. Теперь выполним обратную замену:

Для $y_1 = 1$:
$x^2 = 1 \implies x = \pm\sqrt{1} \implies x_2 = 1, x_3 = -1$.

Для $y_2 = 5$:
$x^2 = 5 \implies x = \pm\sqrt{5} \implies x_4 = \sqrt{5}, x_5 = -\sqrt{5}$.

Собираем все найденные уникальные корни: $-1, 1, \sqrt{5}, -\sqrt{5}$.

Ответ: $-\sqrt{5}, -1, 1, \sqrt{5}$.

б) $x^5 - x^4 - 2x^3 + 2x^2 - 3x + 3 = 0$

Применим метод группировки слагаемых:

$(x^5 - x^4) - (2x^3 - 2x^2) - (3x - 3) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы, обращая внимание на знаки:

$x^4(x - 1) - 2x^2(x - 1) - 3(x - 1) = 0$

Вынесем общий множитель $(x - 1)$ за скобки:

$(x - 1)(x^4 - 2x^2 - 3) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

1) $x - 1 = 0$

$x_1 = 1$

2) $x^4 - 2x^2 - 3 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $y = x^2$ ($y \ge 0$):

$y^2 - 2y - 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 = 4^2$

Найдем корни для $y$:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 4}{2} = 3$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 4}{2} = -1$

Корень $y_2 = -1$ не удовлетворяет условию $y \ge 0$, поэтому он является посторонним. Рассматриваем только $y_1 = 3$.

Выполним обратную замену:

$x^2 = 3 \implies x = \pm\sqrt{3} \implies x_2 = \sqrt{3}, x_3 = -\sqrt{3}$.

Таким образом, действительными корнями исходного уравнения являются $1, \sqrt{3}, -\sqrt{3}$.

Ответ: $-\sqrt{3}, 1, \sqrt{3}$.

284. Найдите корни уравнения:

а) $y^7 - y^6 + 8y = 8;$

б) $u^7 - u^6 = 64u - 64.$

а) $y^7 - y^6 + 8y = 8$

Для решения уравнения перенесем все его члены в левую часть:

$y^7 - y^6 + 8y - 8 = 0$

Применим метод группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

$(y^7 - y^6) + (8y - 8) = 0$

Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе:

$y^6(y - 1) + 8(y - 1) = 0$

Теперь вынесем общий для обоих слагаемых множитель $(y - 1)$ за скобки:

$(y - 1)(y^6 + 8) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Поэтому рассмотрим два возможных случая:

1) $y - 1 = 0$

Отсюда находим первый корень: $y = 1$.

2) $y^6 + 8 = 0$

Отсюда получаем $y^6 = -8$.

Так как левая часть уравнения, $y^6$, представляет собой переменную в четной степени, ее значение не может быть отрицательным для любого действительного числа $y$ (т.е. $y^6 \ge 0$). Правая часть уравнения равна $-8$, что является отрицательным числом. Следовательно, это уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, у исходного уравнения есть только один действительный корень.

Ответ: $1$.

б) $u^7 - u^6 = 64u - 64$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить уравнение, равное нулю:

$u^7 - u^6 - 64u + 64 = 0$

Используем метод группировки:

$(u^7 - u^6) - (64u - 64) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы. Из первой группы вынесем $u^6$, а из второй $64$:

$u^6(u - 1) - 64(u - 1) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(u - 1)$ за скобки:

$(u - 1)(u^6 - 64) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1) $u - 1 = 0$

Отсюда получаем первый корень: $u = 1$.

2) $u^6 - 64 = 0$

Отсюда получаем $u^6 = 64$.

Мы знаем, что $64 = 2^6$. Таким образом, уравнение принимает вид $u^6 = 2^6$.

Поскольку показатель степени (6) является четным числом, это уравнение имеет два действительных корня:

$u = 2$ и $u = -2$.

В результате мы нашли три действительных корня для исходного уравнения.

Ответ: $-2; 1; 2$.

285. Разложите на множители квадратный трёхчлен:

а) $3x^2 - 25x - 28$;

б) $2x^2 + 13x - 7$.

а) $3x^2 - 25x - 28$

Для разложения квадратного трехчлена $ax^2 + bx + c$ на множители используется формула $a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

Сначала решим уравнение $3x^2 - 25x - 28 = 0$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-25)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-28) = 625 + 336 = 961$.

Найдем корни уравнения, используя формулу $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-25) + \sqrt{961}}{2 \cdot 3} = \frac{25 + 31}{6} = \frac{56}{6} = \frac{28}{3}$.

$x_2 = \frac{-(-25) - \sqrt{961}}{2 \cdot 3} = \frac{25 - 31}{6} = \frac{-6}{6} = -1$.

Теперь подставим найденные корни в формулу разложения:

$3x^2 - 25x - 28 = 3\left(x - \frac{28}{3}\right)(x - (-1)) = 3\left(x - \frac{28}{3}\right)(x + 1)$.

Чтобы избавиться от дроби, внесем множитель $3$ в первую скобку:

$3\left(x - \frac{28}{3}\right) = 3 \cdot x - 3 \cdot \frac{28}{3} = 3x - 28$.

Таким образом, разложение на множители имеет вид: $(3x - 28)(x + 1)$.

Ответ: $(3x - 28)(x + 1)$.

б) $2x^2 + 13x - 7$

Для разложения на множители решим квадратное уравнение $2x^2 + 13x - 7 = 0$, чтобы найти его корни.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 13^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 169 + 56 = 225$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-13 + \sqrt{225}}{2 \cdot 2} = \frac{-13 + 15}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

$x_2 = \frac{-13 - \sqrt{225}}{2 \cdot 2} = \frac{-13 - 15}{4} = \frac{-28}{4} = -7$.

Подставим корни в формулу разложения $a(x - x_1)(x - x_2)$:

$2x^2 + 13x - 7 = 2\left(x - \frac{1}{2}\right)(x - (-7)) = 2\left(x - \frac{1}{2}\right)(x + 7)$.

Внесем множитель $2$ в первую скобку:

$2\left(x - \frac{1}{2}\right) = 2 \cdot x - 2 \cdot \frac{1}{2} = 2x - 1$.

В итоге получаем разложение: $(2x - 1)(x + 7)$.

Ответ: $(2x - 1)(x + 7)$.

286. Решите неравенство:

а) $13(5x - 1) - 15(4x + 2) < 0;$

б) $6(7 - 0,2x) - 5(8 - 0,4x) > 0.$

а) $13(5x - 1) - 15(4x + 2) < 0$

Для решения данного линейного неравенства сначала раскроем скобки:

$13 \cdot 5x - 13 \cdot 1 - 15 \cdot 4x - 15 \cdot 2 < 0$

$65x - 13 - 60x - 30 < 0$

Теперь приведем подобные слагаемые. Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ и свободные члены:

$(65x - 60x) + (-13 - 30) < 0$

$5x - 43 < 0$

Перенесем свободный член (-43) в правую часть неравенства, изменив его знак на противоположный:

$5x < 43$

Разделим обе части неравенства на положительный коэффициент при $x$, то есть на 5. Знак неравенства при этом не меняется:

$x < \frac{43}{5}$

Преобразуем дробь в десятичную:

$x < 8,6$

Решение неравенства можно записать в виде числового промежутка.

Ответ: $x \in (-\infty; 8,6)$.

б) $6(7 - 0,2x) - 5(8 - 0,4x) > 0$

Раскроем скобки в левой части неравенства:

$6 \cdot 7 - 6 \cdot 0,2x - 5 \cdot 8 - 5 \cdot (-0,4x) > 0$

$42 - 1,2x - 40 + 2x > 0$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(-1,2x + 2x) + (42 - 40) > 0$

$0,8x + 2 > 0$

Перенесем свободный член (2) в правую часть неравенства с противоположным знаком:

$0,8x > -2$

Разделим обе части неравенства на положительное число 0,8. Знак неравенства сохраняется:

$x > \frac{-2}{0,8}$

Для удобства вычислений умножим числитель и знаменатель дроби на 10:

$x > \frac{-20}{8}$

Сократим дробь на 4:

$x > -\frac{5}{2}$

Представим результат в виде десятичной дроби:

$x > -2,5$

Запишем решение в виде числового промежутка.

Ответ: $x \in (-2,5; +\infty)$.

287. Два сварщика, работая вместе, могут выполнить задание за 30 ч. За сколько часов сможет выполнить это задание каждый сварщик, если известно, что первому на выполнение всей работы потребуется времени на 11 ч больше, чем второму?

Примем весь объем работы за 1 (единицу).

Пусть $x$ часов — это время, за которое второй сварщик может выполнить всю работу самостоятельно. Тогда его производительность (часть работы, выполняемая за 1 час) равна $\frac{1}{x}$.

Согласно условию, первому сварщику требуется на 11 часов больше, чем второму. Значит, время выполнения работы первым сварщиком составляет $(x + 11)$ часов. Его производительность равна $\frac{1}{x+11}$.

Когда сварщики работают вместе, их производительности складываются. Совместная производительность равна:$P_{общ} = P_1 + P_2 = \frac{1}{x+11} + \frac{1}{x}$.

Известно, что, работая вместе, они выполняют всю работу за 30 часов. Следовательно, их совместная производительность также равна $\frac{1}{30}$.

Приравняем выражения для совместной производительности и получим уравнение:

$\frac{1}{x+11} + \frac{1}{x} = \frac{1}{30}$

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:

$\frac{x + (x+11)}{x(x+11)} = \frac{1}{30}$

$\frac{2x+11}{x^2+11x} = \frac{1}{30}$

Используя свойство пропорции (умножение крест-накрест), получим:

$30(2x+11) = 1(x^2+11x)$

$60x + 330 = x^2 + 11x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 + 11x - 60x - 330 = 0$

$x^2 - 49x - 330 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-49)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-330) = 2401 + 1320 = 3721$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{-(-49) \pm \sqrt{3721}}{2 \cdot 1} = \frac{49 \pm 61}{2}$

Получаем два корня:

$x_1 = \frac{49 + 61}{2} = \frac{110}{2} = 55$

$x_2 = \frac{49 - 61}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

Так как время не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -6$ не подходит по смыслу задачи.

Следовательно, время, за которое второй сварщик выполнит работу, равно 55 часов.

Теперь найдем время для первого сварщика:

$x + 11 = 55 + 11 = 66$ часов.

Ответ: первый сварщик сможет выполнить задание за 66 часов, а второй — за 55 часов.