Страница 79 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

265. Какова степень уравнения:

а) $2x^2 - 6x^5 + 1 = 0$;

б) $x^6 - 4x^3 - 3 = 0$;

в) $\frac{1}{7}x^5 = 0$;

г) $(x+8)(x-7)=0$;

д) $\frac{x}{2} - \frac{x}{4} = 5$;

е) $5x^3 - 5x(x^2 + 4) = 17?$

Степень уравнения — это наибольший показатель степени переменной в уравнении, приведенном к стандартному виду $P(x) = 0$, где $P(x)$ — многочлен.

а) В уравнении $2x^2 - 6x^5 + 1 = 0$ переменная $x$ входит в степенях 2 и 5. Наибольшая из этих степеней — 5.
Ответ: 5

б) В уравнении $x^6 - 4x^3 - 3 = 0$ переменная $x$ входит в степенях 6 и 3. Наибольшая из этих степеней — 6.
Ответ: 6

в) В уравнении $\frac{1}{7}x^5 = 0$ переменная $x$ имеет степень 5. Это единственная и, следовательно, наибольшая степень.
Ответ: 5

г) Чтобы определить степень уравнения $(x + 8)(x - 7) = 0$, необходимо привести его к стандартному виду, раскрыв скобки:
$(x + 8)(x - 7) = x \cdot x - 7x + 8x - 56 = x^2 + x - 56$.
Уравнение принимает вид $x^2 + x - 56 = 0$. Наибольшая степень переменной $x$ в этом уравнении равна 2.
Ответ: 2

д) Приведем уравнение $\frac{x}{2} - \frac{x}{4} = 5$ к стандартному виду. Сначала упростим левую часть, приведя дроби к общему знаменателю:
$\frac{2x}{4} - \frac{x}{4} = 5$
$\frac{x}{4} = 5$
Это уравнение можно записать как $\frac{1}{4}x^1 - 5 = 0$. Наибольшая степень переменной $x$ равна 1.
Ответ: 1

е) Упростим уравнение $5x^3 - 5x(x^2 + 4) = 17$, чтобы определить его степень.
Раскроем скобки: $5x^3 - 5x \cdot x^2 - 5x \cdot 4 = 17$
$5x^3 - 5x^3 - 20x = 17$
Приведем подобные слагаемые: слагаемые $5x^3$ и $-5x^3$ взаимно уничтожаются.
$-20x = 17$
Перенесем все члены в левую часть: $-20x - 17 = 0$. В полученном уравнении наибольшая степень переменной $x$ равна 1.
Ответ: 1

266. Решите уравнение:

а) $(8x - 1)(2x - 3) - (4x - 1)^2 = 38;$

б) $\frac{(15x - 1)(1 + 15x)}{3} = 2\frac{2}{3};$

в) $0,5y^3 - 0,5y(y + 1)(y - 3) = 7;$

г) $x^4 - x^2 = \frac{(1 + 2x^2)(2x^2 - 1)}{4}.$

а) $(8x - 1)(2x - 3) - (4x - 1)^2 = 38$

Раскроем скобки в левой части уравнения. Сначала перемножим первые два многочлена, а для второго выражения применим формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
$(8x \cdot 2x - 8x \cdot 3 - 1 \cdot 2x - 1 \cdot (-3)) - ((4x)^2 - 2 \cdot 4x \cdot 1 + 1^2) = 38$
$(16x^2 - 24x - 2x + 3) - (16x^2 - 8x + 1) = 38$
Приведем подобные слагаемые в первых скобках:
$(16x^2 - 26x + 3) - (16x^2 - 8x + 1) = 38$
Раскроем вторые скобки, поменяв знаки на противоположные:
$16x^2 - 26x + 3 - 16x^2 + 8x - 1 = 38$
Снова приведем подобные слагаемые:
$(16x^2 - 16x^2) + (-26x + 8x) + (3 - 1) = 38$
$-18x + 2 = 38$
Перенесем 2 в правую часть уравнения:
$-18x = 38 - 2$
$-18x = 36$
Найдем $x$ путем деления обеих частей на -18:
$x = \frac{36}{-18}$
$x = -2$
Ответ: $-2$.

б) $\frac{(15x - 1)(1 + 15x)}{3} = 2\frac{2}{3}$

В числителе левой части уравнения воспользуемся формулой разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$. Смешанную дробь в правой части преобразуем в неправильную: $2\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{8}{3}$.
$\frac{(15x)^2 - 1^2}{3} = \frac{8}{3}$
$\frac{225x^2 - 1}{3} = \frac{8}{3}$
Умножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от знаменателя:
$225x^2 - 1 = 8$
Перенесем -1 в правую часть:
$225x^2 = 8 + 1$
$225x^2 = 9$
Выразим $x^2$:
$x^2 = \frac{9}{225}$
Сократим дробь на 9:
$x^2 = \frac{1}{25}$
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$x = \pm\sqrt{\frac{1}{25}}$
$x_1 = \frac{1}{5}$, $x_2 = -\frac{1}{5}$
Ответ: $\pm\frac{1}{5}$.

в) $0,5y^3 - 0,5y(y + 1)(y - 3) = 7$

Сначала раскроем скобки $(y+1)(y-3)$:
$(y + 1)(y - 3) = y^2 - 3y + y - 3 = y^2 - 2y - 3$
Подставим полученное выражение в исходное уравнение:
$0,5y^3 - 0,5y(y^2 - 2y - 3) = 7$
Теперь умножим $-0,5y$ на многочлен в скобках:
$0,5y^3 - (0,5y \cdot y^2 - 0,5y \cdot 2y - 0,5y \cdot 3) = 7$
$0,5y^3 - (0,5y^3 - y^2 - 1,5y) = 7$
Раскроем скобки:
$0,5y^3 - 0,5y^3 + y^2 + 1,5y = 7$
Приведем подобные слагаемые:
$y^2 + 1,5y = 7$
Перенесем 7 в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение стандартного вида $ay^2 + by + c = 0$:
$y^2 + 1,5y - 7 = 0$
Чтобы избавиться от десятичной дроби, умножим все уравнение на 2:
$2y^2 + 3y - 14 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-14) = 9 + 112 = 121$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня, которые найдем по формуле $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$y_1 = \frac{-3 + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 11}{4} = \frac{8}{4} = 2$
$y_2 = \frac{-3 - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 11}{4} = \frac{-14}{4} = -\frac{7}{2} = -3,5$
Ответ: $2; -3,5$.

г) $x^4 - x^2 = \frac{(1 + 2x^2)(2x^2 - 1)}{4}$

В числителе дроби в правой части уравнения применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, поменяв множители местами: $(2x^2 + 1)(2x^2 - 1)$.
$x^4 - x^2 = \frac{(2x^2)^2 - 1^2}{4}$
$x^4 - x^2 = \frac{4x^4 - 1}{4}$
Умножим обе части уравнения на 4:
$4(x^4 - x^2) = 4x^4 - 1$
$4x^4 - 4x^2 = 4x^4 - 1$
Вычтем $4x^4$ из обеих частей уравнения:
$-4x^2 = -1$
Разделим обе части на -1 (или умножим):
$4x^2 = 1$
$x^2 = \frac{1}{4}$
Извлечем квадратный корень:
$x = \pm\sqrt{\frac{1}{4}}$
$x_1 = \frac{1}{2}$, $x_2 = -\frac{1}{2}$
Ответ: $\pm\frac{1}{2}$.

267. Решите уравнение:

а) $(6 - x)(x + 6) - (x - 11)x = 36;$

б) $\frac{1 - 3y}{11} - \frac{3 - y}{5} = 0;$

в) $9x^2 - \frac{(12x - 11)(3x + 8)}{4} = 1;$

г) $\frac{(y + 1)^2}{12} - \frac{1 - y^2}{24} = 4.$

а) $(6 - x)(x + 6) - (x - 11)x = 36$

Раскроем скобки. В первом произведении используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.
$(6^2 - x^2) - (x \cdot x - 11 \cdot x) = 36$
$36 - x^2 - x^2 + 11x = 36$

Приведем подобные слагаемые:
$-2x^2 + 11x + 36 = 36$

Вычтем 36 из обеих частей уравнения:
$-2x^2 + 11x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(-2x + 11) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$x_1 = 0$
или
$-2x + 11 = 0 \implies 2x = 11 \implies x_2 = \frac{11}{2} = 5.5$

Ответ: $0; 5.5$.

б) $\frac{1 - 3y}{11} - \frac{3 - y}{5} = 0$

Для решения уравнения приведем дроби к общему знаменателю, который равен $11 \cdot 5 = 55$. Умножим обе части уравнения на 55:
$55 \cdot \frac{1 - 3y}{11} - 55 \cdot \frac{3 - y}{5} = 55 \cdot 0$
$5(1 - 3y) - 11(3 - y) = 0$

Раскроем скобки:
$5 - 15y - 33 + 11y = 0$

Приведем подобные слагаемые:
$-4y - 28 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть:
$-4y = 28$

Найдем $y$:
$y = \frac{28}{-4} = -7$

Ответ: $-7$.

в) $9x^2 - \frac{(12x - 11)(3x + 8)}{4} = 1$

Умножим все члены уравнения на 4, чтобы избавиться от знаменателя:
$4 \cdot 9x^2 - 4 \cdot \frac{(12x - 11)(3x + 8)}{4} = 4 \cdot 1$
$36x^2 - (12x - 11)(3x + 8) = 4$

Раскроем скобки в произведении многочленов:
$36x^2 - (12x \cdot 3x + 12x \cdot 8 - 11 \cdot 3x - 11 \cdot 8) = 4$
$36x^2 - (36x^2 + 96x - 33x - 88) = 4$
$36x^2 - (36x^2 + 63x - 88) = 4$

Раскроем оставшиеся скобки, меняя знаки на противоположные:
$36x^2 - 36x^2 - 63x + 88 = 4$

Упростим уравнение:
$-63x + 88 = 4$

Перенесем 88 в правую часть:
$-63x = 4 - 88$
$-63x = -84$

Найдем $x$:
$x = \frac{-84}{-63} = \frac{84}{63}$

Сократим дробь на их наибольший общий делитель, равный 21:
$x = \frac{4 \cdot 21}{3 \cdot 21} = \frac{4}{3}$

Ответ: $\frac{4}{3}$.

г) $\frac{(y + 1)^2}{12} - \frac{1 - y^2}{24} = 4$

Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель, равный 24:
$24 \cdot \frac{(y + 1)^2}{12} - 24 \cdot \frac{1 - y^2}{24} = 24 \cdot 4$
$2(y + 1)^2 - (1 - y^2) = 96$

Раскроем скобки. Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ для первого слагаемого:
$2(y^2 + 2y + 1) - 1 + y^2 = 96$

Раскроем оставшиеся скобки и приведем подобные слагаемые:
$2y^2 + 4y + 2 - 1 + y^2 = 96$
$3y^2 + 4y + 1 = 96$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ay^2+by+c=0$:
$3y^2 + 4y + 1 - 96 = 0$
$3y^2 + 4y - 95 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$a=3, b=4, c=-95$
$D = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-95) = 16 + 12 \cdot 95 = 16 + 1140 = 1156$

Найдем корни уравнения по формуле $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$\sqrt{D} = \sqrt{1156} = 34$
$y_1 = \frac{-4 + 34}{2 \cdot 3} = \frac{30}{6} = 5$
$y_2 = \frac{-4 - 34}{2 \cdot 3} = \frac{-38}{6} = -\frac{19}{3}$

Ответ: $5; -\frac{19}{3}$.