Страница 72 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

237. Постройте график функции:

а) $y = x|x|$;

б) $y = -\frac{x^3}{|x|}$.

а) Для построения графика функции $y = x|x|$ необходимо раскрыть модуль. По определению модуля: $|x| = x$ при $x \ge 0$ и $|x| = -x$ при $x < 0$.

Рассмотрим два случая:
1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$, и функция принимает вид $y = x \cdot x = x^2$. На этом промежутке $[0, +\infty)$ график совпадает с правой ветвью параболы $y = x^2$, направленной вверх.
2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$, и функция принимает вид $y = x \cdot (-x) = -x^2$. На этом промежутке $(-\infty, 0)$ график совпадает с левой ветвью параболы $y = -x^2$, направленной вниз.

Таким образом, функция является кусочно-заданной:
$y = \begin{cases} x^2, & \text{если } x \ge 0 \\ -x^2, & \text{если } x < 0 \end{cases}$
График состоит из двух ветвей парабол, которые соединяются в точке $(0, 0)$.
Ответ: График функции представляет собой объединение части параболы $y = x^2$ при $x \ge 0$ и части параболы $y = -x^2$ при $x < 0$.

б) Для построения графика функции $y = -\frac{x^3}{|x|}$ сначала определим ее область определения. Так как в знаменателе стоит $|x|$, то $x \neq 0$. Это означает, что на графике будет разрыв (выколотая точка) при $x=0$.

Теперь раскроем модуль для двух случаев:
1. Если $x > 0$, то $|x| = x$. Функция упрощается до $y = -\frac{x^3}{x} = -x^2$. Для положительных значений $x$ график совпадает с правой ветвью параболы $y = -x^2$, направленной вниз.
2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция упрощается до $y = -\frac{x^3}{-x} = x^2$. Для отрицательных значений $x$ график совпадает с левой ветвью параболы $y = x^2$, направленной вверх.

Таким образом, функция задается системой:
$y = \begin{cases} -x^2, & \text{если } x > 0 \\ x^2, & \text{если } x < 0 \end{cases}$
График состоит из левой ветви параболы $y=x^2$ и правой ветви параболы $y=-x^2$. Точка $(0, 0)$ не принадлежит графику.
Ответ: График функции представляет собой объединение части параболы $y=x^2$ при $x < 0$ и части параболы $y=-x^2$ при $x > 0$, с выколотой точкой в начале координат $(0, 0)$.

238. При каких значениях c график функции $y = x^2 - 6x + c$ расположен выше прямой:

а) $y = 4$;

б) $y = -1$?

График функции $y = x^2 - 6x + c$ представляет собой параболу. Коэффициент при $x^2$ равен 1, что является положительным числом, следовательно, ветви параболы направлены вверх. Чтобы график этой параболы был расположен полностью выше некоторой горизонтальной прямой, ее наименьшее значение должно быть больше, чем ордината этой прямой. Наименьшее значение парабола, ветви которой направлены вверх, принимает в своей вершине.

Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$.
Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Для данной функции $a=1$ и $b=-6$.
$x_0 = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3$.

Ордината вершины (которая и является наименьшим значением функции) находится путем подстановки значения $x_0$ в уравнение функции:
$y_0 = (3)^2 - 6(3) + c = 9 - 18 + c = c - 9$.

а)

Чтобы график функции был расположен выше прямой $y = 4$, необходимо, чтобы наименьшее значение функции было больше 4. Составим и решим неравенство:
$y_0 > 4$
$c - 9 > 4$
$c > 4 + 9$
$c > 13$
Ответ: $c > 13$.

б)

Чтобы график функции был расположен выше прямой $y = -1$, необходимо, чтобы наименьшее значение функции было больше -1. Составим и решим неравенство:
$y_0 > -1$
$c - 9 > -1$
$c > -1 + 9$
$c > 8$
Ответ: $c > 8$.

239. При каких значениях $b$ и $c$ вершиной параболы $y = x^2 + bx + c$ является точка $(6; -12)$?

Для параболы, заданной уравнением $y = ax^2 + bx + c$, координата $x$ её вершины $(x_v, y_v)$ находится по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$.

В нашем уравнении $y = x^2 + bx + c$ коэффициент при старшей степени $a = 1$. По условию задачи, вершина параболы находится в точке $(6; -12)$, следовательно, абсцисса вершины $x_v = 6$.

Подставим известные значения $x_v = 6$ и $a = 1$ в формулу для абсциссы вершины, чтобы найти значение коэффициента $b$:

$6 = -\frac{b}{2 \cdot 1}$

$6 = -\frac{b}{2}$

Отсюда находим $b$:

$b = 6 \cdot (-2) = -12$

Теперь мы знаем, что уравнение параболы имеет вид $y = x^2 - 12x + c$.

Поскольку точка $(6; -12)$ является вершиной, она принадлежит графику функции. Это означает, что её координаты удовлетворяют уравнению параболы. Подставим значения $x = 6$ и $y = -12$ в полученное уравнение, чтобы найти коэффициент $c$:

$-12 = (6)^2 - 12 \cdot (6) + c$

$-12 = 36 - 72 + c$

$-12 = -36 + c$

Отсюда находим $c$:

$c = -12 + 36$

$c = 24$

Таким образом, искомые значения коэффициентов: $b = -12$ и $c = 24$.

Проверка: можно также использовать вершинную формулу параболы $y = a(x - x_v)^2 + y_v$. Подставив $a = 1$, $x_v=6$ и $y_v=-12$, получаем: $y = 1(x - 6)^2 - 12 = x^2 - 12x + 36 - 12 = x^2 - 12x + 24$. Сравнивая с $y = x^2 + bx + c$, видим, что $b = -12$ и $c = 24$.

Ответ: $b = -12, c = 24$.

240. Найдите значение $a$, при котором осью симметрии параболы $y = ax^2 - 16x + 1$ является прямая $x = 4$.

Уравнение параболы в общем виде записывается как $y = Ax^2 + Bx + C$. Ось симметрии такой параболы — это вертикальная прямая, проходящая через ее вершину. Уравнение оси симметрии находится по формуле для абсциссы вершины параболы:

$x_0 = -\frac{B}{2A}$

В нашей задаче дано уравнение параболы $y = ax^2 - 16x + 1$. Сравним его с общим видом и определим коэффициенты:

• $A = a$
• $B = -16$
• $C = 1$

Теперь подставим эти коэффициенты в формулу для оси симметрии:

$x_0 = -\frac{-16}{2a} = \frac{16}{2a} = \frac{8}{a}$

Согласно условию задачи, осью симметрии является прямая $x = 4$. Это значит, что вычисленное значение $x_0$ должно быть равно 4. Составим уравнение:

$\frac{8}{a} = 4$

Чтобы найти $a$, решим это уравнение. Умножим обе части на $a$ (при условии, что $a \neq 0$, иначе уравнение не будет квадратным и не будет задавать параболу):

$8 = 4a$

Теперь разделим обе части на 4:

$a = \frac{8}{4}$

$a = 2$

Ответ: 2

241. При каких значениях $a$ и $c$ квадратичная функция $y = ax^2 + c$ имеет нули?

Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. Чтобы найти, при каких значениях параметров $a$ и $c$ квадратичная функция $y = ax^2 + c$ имеет нули, необходимо решить уравнение $ax^2 + c = 0$ и определить условия, при которых это уравнение имеет действительные корни.

По определению, для квадратичной функции коэффициент при $x^2$ не должен быть равен нулю, следовательно, $a \ne 0$.

Рассмотрим уравнение: $ax^2 + c = 0$

Перенесем свободный член $c$ в правую часть: $ax^2 = -c$

Так как $a \ne 0$, разделим обе части уравнения на $a$: $x^2 = -\frac{c}{a}$

Данное уравнение имеет действительные корни для $x$ только в том случае, если его правая часть неотрицательна, то есть больше или равна нулю: $-\frac{c}{a} \ge 0$

Умножим обе части неравенства на $-1$, при этом знак неравенства изменится на противоположный: $\frac{c}{a} \le 0$

Это неравенство означает, что дробь $\frac{c}{a}$ должна быть отрицательной или равной нулю. Если $c=0$, то $\frac{0}{a} = 0$, и неравенство $0 \le 0$ выполняется для любого $a \ne 0$. Если же $c \ne 0$, то для того, чтобы дробь была отрицательной, ее числитель $c$ и знаменатель $a$ должны иметь разные знаки. То есть, либо $a > 0$ и $c < 0$, либо $a < 0$ и $c > 0$.

Объединяя эти случаи, получаем, что коэффициенты $a$ и $c$ должны иметь противоположные знаки или $c$ должен быть равен нулю. Это условие можно записать в виде одного неравенства $ac \le 0$.

Таким образом, квадратичная функция $y = ax^2 + c$ имеет нули, если $a \ne 0$ и произведение $ac$ является неположительным числом.

Ответ: при $a > 0$ и $c \le 0$, или при $a < 0$ и $c \ge 0$. Это также можно записать одним условием: $ac \le 0$ при $a \ne 0$.

242. Найдите значения $a$ и $b$, при которых график функции $y = ax^2 + bx - 18$ проходит через точки M(1; 2) и N(2; 10).

Поскольку график функции $y = ax^2 + bx - 18$ проходит через точки M(1; 2) и N(2; 10), координаты этих точек должны удовлетворять уравнению функции. Мы можем составить и решить систему уравнений, подставив координаты каждой точки в данное уравнение.

Подставим координаты точки M(1; 2), где $x=1$ и $y=2$:
$2 = a \cdot 1^2 + b \cdot 1 - 18$
$2 = a + b - 18$
$a + b = 20$

Теперь подставим координаты точки N(2; 10), где $x=2$ и $y=10$:
$10 = a \cdot 2^2 + b \cdot 2 - 18$
$10 = 4a + 2b - 18$
$4a + 2b = 28$
Чтобы упростить это уравнение, разделим обе его части на 2:
$2a + b = 14$

В результате мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными $a$ и $b$:
$ \begin{cases} a + b = 20 \\ 2a + b = 14 \end{cases} $

Для решения системы вычтем первое уравнение из второго. Это позволит нам найти значение $a$:
$(2a + b) - (a + b) = 14 - 20$
$2a + b - a - b = -6$
$a = -6$

Теперь, когда мы знаем значение $a$, подставим его в первое уравнение ($a + b = 20$) для нахождения $b$:
$-6 + b = 20$
$b = 20 + 6$
$b = 26$

Таким образом, искомые значения коэффициентов равны $a = -6$ и $b = 26$.

Ответ: $a = -6$, $b = 26$.

243. Постройте график функции и опишите её свойства:

а) $y = x^2 + 2x - 15;$

б) $y = 0,5x^2 - 3x + 4;$

в) $y = 4 - 0,5x^2;$

г) $y = 6x - 2x^2;$

д) $y = (2x - 7)(x + 1);$

е) $y = (2 - x)(x + 6).$

а) $y = x^2 + 2x - 15;$

Это квадратичная функция, график которой — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a=1$, так как $a>0$, ветви параболы направлены вверх.

Построение графика:

1. Находим координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$
$y_0 = y(x_0) = (-1)^2 + 2(-1) - 15 = 1 - 2 - 15 = -16$
Координаты вершины: $(-1, -16)$. Ось симметрии: $x = -1$.

2. Находим точки пересечения с осями координат:
- С осью OY (при $x=0$): $y = -15$. Точка пересечения $(0, -15)$.
- С осью OX (при $y=0$): решаем уравнение $x^2 + 2x - 15 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 3, x_2 = -5$. Точки пересечения $(3, 0)$ и $(-5, 0)$.

3. Наносим на координатную плоскость вершину, точки пересечения с осями и, используя ось симметрии, строим параболу.

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = [-16; +\infty)$.
• Нули функции: $x=-5, x=3$.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-\infty; -5) \cup (3; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-5; 3)$.
• Промежутки монотонности: функция убывает на промежутке $(-\infty; -1]$ и возрастает на промежутке $[-1; +\infty)$.
• Наименьшее значение функции: $y_{min} = -16$ при $x = -1$.

Ответ: График — парабола с вершиной в точке $(-1, -16)$ и ветвями вверх. Нули функции: $x=-5, x=3$. Функция убывает до $x=-1$ и возрастает после.

б) $y = 0,5x^2 - 3x + 4;$

Это квадратичная функция, график — парабола. Ветви направлены вверх, так как $a=0,5 > 0$.

Построение графика:

1. Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2 \cdot 0,5} = 3$
$y_0 = y(3) = 0,5 \cdot 3^2 - 3 \cdot 3 + 4 = 4,5 - 9 + 4 = -0,5$
Вершина: $(3, -0,5)$. Ось симметрии: $x = 3$.

2. Точки пересечения с осями:
- С осью OY ($x=0$): $y = 4$. Точка $(0, 4)$.
- С осью OX ($y=0$): $0,5x^2 - 3x + 4 = 0$. Умножим на 2: $x^2 - 6x + 8 = 0$. Корни $x_1 = 2, x_2 = 4$. Точки $(2, 0)$ и $(4, 0)$.

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = [-0,5; +\infty)$.
• Нули функции: $x=2, x=4$.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 2) \cup (4; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (2; 4)$.
• Промежутки монотонности: функция убывает на $(-\infty; 3]$ и возрастает на $[3; +\infty)$.
• Наименьшее значение функции: $y_{min} = -0,5$ при $x = 3$.

Ответ: График — парабола с вершиной в точке $(3, -0,5)$ и ветвями вверх. Нули функции: $x=2, x=4$. Функция убывает до $x=3$ и возрастает после.

в) $y = 4 - 0,5x^2;$

Это квадратичная функция $y = -0,5x^2 + 4$, график — парабола. Ветви направлены вниз, так как $a=-0,5 < 0$.

Построение графика:

1. Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$:
$x_0 = -\frac{0}{2 \cdot (-0,5)} = 0$
$y_0 = y(0) = 4 - 0,5 \cdot 0^2 = 4$
Вершина: $(0, 4)$. Ось симметрии: $x = 0$ (ось OY).

2. Точки пересечения с осями:
- С осью OY: вершина параболы $(0, 4)$ лежит на оси OY.
- С осью OX ($y=0$): $4 - 0,5x^2 = 0 \Rightarrow 0,5x^2 = 4 \Rightarrow x^2 = 8 \Rightarrow x = \pm\sqrt{8} = \pm2\sqrt{2}$. Точки $(-2\sqrt{2}, 0)$ и $(2\sqrt{2}, 0)$. ($2\sqrt{2} \approx 2,83$)

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; 4]$.
• Нули функции: $x=-2\sqrt{2}, x=2\sqrt{2}$.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-2\sqrt{2}; 2\sqrt{2})$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; -2\sqrt{2}) \cup (2\sqrt{2}; +\infty)$.
• Промежутки монотонности: функция возрастает на $(-\infty; 0]$ и убывает на $[0; +\infty)$.
• Наибольшее значение функции: $y_{max} = 4$ при $x = 0$.
• Функция является четной, так как $y(-x) = y(x)$. График симметричен относительно оси OY.

Ответ: График — парабола с вершиной в точке $(0, 4)$ и ветвями вниз. Нули функции: $x=\pm2\sqrt{2}$. Функция возрастает до $x=0$ и убывает после.

г) $y = 6x - 2x^2;$

Это квадратичная функция $y = -2x^2 + 6x$, график — парабола. Ветви направлены вниз, так как $a=-2 < 0$.

Построение графика:

1. Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot (-2)} = 1,5$
$y_0 = y(1,5) = 6 \cdot 1,5 - 2 \cdot (1,5)^2 = 9 - 2 \cdot 2,25 = 9 - 4,5 = 4,5$
Вершина: $(1,5; 4,5)$. Ось симметрии: $x = 1,5$.

2. Точки пересечения с осями:
- С осью OY ($x=0$): $y = 0$. Точка $(0, 0)$.
- С осью OX ($y=0$): $6x - 2x^2 = 0 \Rightarrow 2x(3 - x) = 0$. Корни $x_1 = 0, x_2 = 3$. Точки $(0, 0)$ и $(3, 0)$.

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; 4,5]$.
• Нули функции: $x=0, x=3$.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (0; 3)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (3; +\infty)$.
• Промежутки монотонности: функция возрастает на $(-\infty; 1,5]$ и убывает на $[1,5; +\infty)$.
• Наибольшее значение функции: $y_{max} = 4,5$ при $x = 1,5$.

Ответ: График — парабола с вершиной в точке $(1,5; 4,5)$ и ветвями вниз. Нули функции: $x=0, x=3$. Функция возрастает до $x=1,5$ и убывает после.

д) $y = (2x - 7)(x + 1);$

Раскроем скобки: $y = 2x^2 + 2x - 7x - 7 = 2x^2 - 5x - 7$. Это квадратичная функция, график — парабола. Ветви направлены вверх, так как $a=2 > 0$.

Построение графика:

1. Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-5}{2 \cdot 2} = \frac{5}{4} = 1,25$
$y_0 = y(1,25) = 2(1,25)^2 - 5(1,25) - 7 = 2(1,5625) - 6,25 - 7 = 3,125 - 13,25 = -10,125$
Вершина: $(1,25; -10,125)$. Ось симметрии: $x = 1,25$.

2. Точки пересечения с осями:
- С осью OY ($x=0$): $y = -7$. Точка $(0, -7)$.
- С осью OX ($y=0$): $(2x - 7)(x + 1) = 0$. Корни $x_1 = 3,5, x_2 = -1$. Точки $(3,5; 0)$ и $(-1, 0)$.

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = [-10,125; +\infty)$.
• Нули функции: $x=-1, x=3,5$.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-\infty; -1) \cup (3,5; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-1; 3,5)$.
• Промежутки монотонности: функция убывает на $(-\infty; 1,25]$ и возрастает на $[1,25; +\infty)$.
• Наименьшее значение функции: $y_{min} = -10,125$ при $x = 1,25$.

Ответ: График — парабола с вершиной в точке $(1,25; -10,125)$ и ветвями вверх. Нули функции: $x=-1, x=3,5$. Функция убывает до $x=1,25$ и возрастает после.

е) $y = (2 - x)(x + 6).$

Раскроем скобки: $y = 2x + 12 - x^2 - 6x = -x^2 - 4x + 12$. Это квадратичная функция, график — парабола. Ветви направлены вниз, так как $a=-1 < 0$.

Построение графика:

1. Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot (-1)} = -2$
$y_0 = y(-2) = -(-2)^2 - 4(-2) + 12 = -4 + 8 + 12 = 16$
Вершина: $(-2, 16)$. Ось симметрии: $x = -2$.

2. Точки пересечения с осями:
- С осью OY ($x=0$): $y = 12$. Точка $(0, 12)$.
- С осью OX ($y=0$): $(2 - x)(x + 6) = 0$. Корни $x_1 = 2, x_2 = -6$. Точки $(2, 0)$ и $(-6, 0)$.

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; 16]$.
• Нули функции: $x=-6, x=2$.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-6; 2)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; -6) \cup (2; +\infty)$.
• Промежутки монотонности: функция возрастает на $(-\infty; -2]$ и убывает на $[-2; +\infty)$.
• Наибольшее значение функции: $y_{max} = 16$ при $x = -2$.

Ответ: График — парабола с вершиной в точке $(-2, 16)$ и ветвями вниз. Нули функции: $x=-6, x=2$. Функция возрастает до $x=-2$ и убывает после.

244. Найдите область значений функции:

a) $y = 3x^2 - 0.5x + \frac{1}{16};$

б) $y = 2x^2 + 1.2x + 2;$

в) $y = -\frac{1}{2}x^2 + 4x - 5.5;$

г) $y = -3x^2 - 2x - 4\frac{2}{3}.$

а) $y = 3x^2 - 0,5x + \frac{1}{16}$

Данная функция является квадратичной, ее график — парабола. Коэффициенты: $a = 3$, $b = -0,5$, $c = \frac{1}{16}$. Поскольку старший коэффициент $a = 3 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Это означает, что функция имеет наименьшее значение в своей вершине. Область значений функции будет иметь вид $[y_0; +\infty)$, где $y_0$ — ордината вершины.

Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$. Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-0,5}{2 \cdot 3} = \frac{0,5}{6} = \frac{1/2}{6} = \frac{1}{12}$.

Ордината вершины (наименьшее значение функции): $y_0 = y(x_0) = 3(\frac{1}{12})^2 - 0,5(\frac{1}{12}) + \frac{1}{16} = 3 \cdot \frac{1}{144} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{12} + \frac{1}{16} = \frac{1}{48} - \frac{1}{24} + \frac{1}{16}$. Приведем дроби к общему знаменателю 48: $y_0 = \frac{1}{48} - \frac{2}{48} + \frac{3}{48} = \frac{1 - 2 + 3}{48} = \frac{2}{48} = \frac{1}{24}$.

Следовательно, область значений функции — это все числа, большие или равные $\frac{1}{24}$.

Ответ: $E(y) = [\frac{1}{24}; +\infty)$.

б) $y = 2x^2 + 1,2x + 2$

Это квадратичная функция с коэффициентами $a = 2$, $b = 1,2$, $c = 2$. Так как $a = 2 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Функция принимает наименьшее значение в вершине. Область значений: $[y_0; +\infty)$.

Найдем координаты вершины. Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{1,2}{2 \cdot 2} = -\frac{1,2}{4} = -0,3$.

Ордината вершины: $y_0 = y(x_0) = 2(-0,3)^2 + 1,2(-0,3) + 2 = 2 \cdot 0,09 - 0,36 + 2 = 0,18 - 0,36 + 2 = 1,82$.

Наименьшее значение функции равно $1,82$. Таким образом, область значений — это промежуток от $1,82$ до $+\infty$.

Ответ: $E(y) = [1,82; +\infty)$.

в) $y = -\frac{1}{2}x^2 + 4x - 5,5$

Это квадратичная функция с коэффициентами $a = -\frac{1}{2}$, $b = 4$, $c = -5,5$. Так как $a = -\frac{1}{2} < 0$, ветви параболы направлены вниз. Функция имеет наибольшее значение в вершине. Область значений: $(-\infty; y_0]$.

Найдем координаты вершины. Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (-\frac{1}{2})} = -\frac{4}{-1} = 4$.

Ордината вершины (наибольшее значение функции): $y_0 = y(x_0) = -\frac{1}{2}(4)^2 + 4(4) - 5,5 = -\frac{1}{2} \cdot 16 + 16 - 5,5 = -8 + 16 - 5,5 = 2,5$.

Наибольшее значение функции равно $2,5$. Следовательно, область значений — это все числа, меньшие или равные $2,5$.

Ответ: $E(y) = (-\infty; 2,5]$.

г) $y = -3x^2 - 2x - 4\frac{2}{3}$

Это квадратичная функция с коэффициентами $a = -3$, $b = -2$, $c = -4\frac{2}{3} = -\frac{14}{3}$. Так как $a = -3 < 0$, ветви параболы направлены вниз. Функция принимает наибольшее значение в вершине. Область значений: $(-\infty; y_0]$.

Найдем координаты вершины. Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot (-3)} = -\frac{-2}{-6} = -\frac{1}{3}$.

Ордината вершины: $y_0 = y(x_0) = -3(-\frac{1}{3})^2 - 2(-\frac{1}{3}) - \frac{14}{3} = -3 \cdot \frac{1}{9} + \frac{2}{3} - \frac{14}{3} = -\frac{1}{3} + \frac{2}{3} - \frac{14}{3} = \frac{-1+2-14}{3} = \frac{-13}{3} = -4\frac{1}{3}$.

Наибольшее значение функции равно $-4\frac{1}{3}$. Таким образом, область значений — это промежуток от $-\infty$ до $-4\frac{1}{3}$.

Ответ: $E(y) = (-\infty; -4\frac{1}{3}]$.

245. Пусть $h$ (м) — высота, на которой находится брошенный с земли вверх мяч, $t$ (с) — время полёта мяча. Зависимость $h$ от $t$ выражается формулой $h = 24t - 4,9t^2$. Какой наибольшей высоты достиг мяч? В какой промежуток времени он поднимался и в какой опускался? Через сколько секунд после броска он упал на землю?

Какой наибольшей высоты достиг мяч?

Зависимость высоты $h$ (в метрах) от времени $t$ (в секундах) задана формулой $h(t) = 24t - 4,9t^2$. Эта функция является квадратичной, и её график — парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $t^2$ отрицательный ($-4,9 < 0$). Максимальное значение функции (наибольшая высота) достигается в вершине параболы.

Координата вершины параболы по оси времени $t$ находится по формуле $t_в = -\frac{b}{2a}$, где для нашей функции $a = -4,9$ и $b = 24$.

$t_в = -\frac{24}{2 \cdot (-4,9)} = \frac{24}{9,8} = \frac{240}{98} = \frac{120}{49}$ c.

Это время, в которое мяч достигнет своей наивысшей точки. Чтобы найти саму наибольшую высоту $h_{макс}$, подставим это значение времени $t_в$ в исходную формулу:

$h_{макс} = h(\frac{120}{49}) = 24 \cdot (\frac{120}{49}) - 4,9 \cdot (\frac{120}{49})^2$

Выполним вычисления:

$h_{макс} = \frac{2880}{49} - 4,9 \cdot \frac{14400}{2401}$

Учитывая, что $4,9 = \frac{49}{10}$ и $2401 = 49^2$, получаем:

$h_{макс} = \frac{2880}{49} - \frac{49}{10} \cdot \frac{14400}{49^2} = \frac{2880}{49} - \frac{14400}{10 \cdot 49} = \frac{2880}{49} - \frac{1440}{49} = \frac{2880 - 1440}{49} = \frac{1440}{49}$ м.

В виде десятичной дроби это примерно $29,39$ м.

Ответ: Наибольшая высота, которой достиг мяч, равна $\frac{1440}{49}$ м (приблизительно 29,39 м).

В какой промежуток времени он поднимался и в какой опускался?

Мяч поднимается вверх с момента броска ($t=0$) до момента достижения максимальной высоты, который мы уже вычислили: $t_в = \frac{120}{49}$ с.

Следовательно, мяч поднимался в промежутке времени от $0$ до $\frac{120}{49}$ секунд.

Мяч опускается с момента достижения максимальной высоты до момента падения на землю. Чтобы найти время падения, нужно определить, когда высота $h$ снова станет равна нулю.

$h(t) = 0 \implies 24t - 4,9t^2 = 0$

$t(24 - 4,9t) = 0$

Это уравнение имеет два решения: $t_1 = 0$ (момент броска) и $t_2$, которое находится из уравнения $24 - 4,9t = 0$.

$4,9t = 24 \implies t_2 = \frac{24}{4,9} = \frac{240}{49}$ с.

Таким образом, общее время полета мяча составляет $\frac{240}{49}$ секунд. Мяч опускался с момента $t_в = \frac{120}{49}$ с до момента падения $t_2 = \frac{240}{49}$ с.

Ответ: Мяч поднимался в промежуток времени $(0; \frac{120}{49})$ с и опускался в промежуток времени $(\frac{120}{49}; \frac{240}{49})$ с.

Через сколько секунд после броска он упал на землю?

Время падения мяча на землю — это полное время его полета. Как было найдено в предыдущем пункте, это второй корень уравнения $h(t)=0$.

Уравнение $t(24 - 4,9t) = 0$ дает нам два момента времени, когда мяч находится на земле ($h=0$):

• $t_1 = 0$ с — начальный момент броска.
• $t_2 = \frac{240}{49}$ с — момент, когда мяч упал на землю после полета.

Приближенное значение времени полета: $\frac{240}{49} \approx 4,90$ с.

Ответ: Мяч упал на землю через $\frac{240}{49}$ секунд (приблизительно через 4,90 с) после броска.

246. Задайте формулой какую-либо квадратичную функцию, которая:

а) в промежутке $(-\infty; -3]$ убывает, а в промежутке $[-3; +\infty)$ возрастает;

б) в промежутке $(-\infty; 6]$ возрастает, а в промежутке $[6; +\infty)$ убывает.

а) в промежутке $(-\infty; -3]$ убывает, а в промежутке $[-3; +\infty)$ возрастает;

Квадратичная функция задается формулой $y = ax^2 + bx + c$, где $a \neq 0$. Ее график — парабола. Поведение функции (возрастание/убывание) зависит от знака коэффициента $a$ и положения вершины параболы.

Если функция сначала убывает, а затем возрастает, это означает, что у нее есть точка минимума. Это соответствует параболе, ветви которой направлены вверх. Для этого старший коэффициент $a$ должен быть положительным ($a > 0$).

Точка, в которой убывание сменяется возрастанием, является вершиной параболы. Согласно условию, это происходит в точке $x = -3$. Следовательно, абсцисса вершины параболы $x_v = -3$.

Наиболее удобный способ задать такую функцию — использовать формулу квадратичной функции в вершинном виде: $y = a(x - x_v)^2 + y_v$, где $(x_v; y_v)$ — координаты вершины.

Нам нужно, чтобы $a > 0$ и $x_v = -3$. Коэффициент $a$ и ордината вершины $y_v$ могут быть любыми, удовлетворяющими этому условию. Для простоты выберем $a=1$ и $y_v=0$.

Подставим эти значения в формулу:

$y = 1 \cdot (x - (-3))^2 + 0$

Упрощая, получаем:

$y = (x + 3)^2$

Это и есть искомая формула. Мы можем также представить ее в стандартном виде, раскрыв скобки: $y = x^2 + 6x + 9$. Эта функция является параболой с вершиной в точке $(-3, 0)$ и ветвями, направленными вверх, поэтому она убывает на $(-\infty; -3]$ и возрастает на $[-3; +\infty)$.

Ответ: $y = (x + 3)^2$ (или, например, $y = x^2 + 6x + 9$).

б) в промежутке $(-\infty; 6]$ возрастает, а в промежутке $[6; +\infty)$ убывает.

Если функция сначала возрастает, а затем убывает, это означает, что у нее есть точка максимума. Это соответствует параболе, ветви которой направлены вниз. Для этого старший коэффициент $a$ должен быть отрицательным ($a < 0$).

Точка, в которой возрастание сменяется убыванием, является вершиной параболы. Согласно условию, это происходит в точке $x = 6$. Следовательно, абсцисса вершины параболы $x_v = 6$.

Снова используем вершинный вид формулы: $y = a(x - x_v)^2 + y_v$.

Нам нужно, чтобы $a < 0$ и $x_v = 6$. Выберем самые простые значения: $a = -1$ и $y_v = 0$.

Подставим эти значения в формулу:

$y = -1 \cdot (x - 6)^2 + 0$

Упрощая, получаем:

$y = -(x - 6)^2$

Это и есть искомая формула. В стандартном виде она выглядит так: $y = -(x^2 - 12x + 36) = -x^2 + 12x - 36$. Эта функция является параболой с вершиной в точке $(6, 0)$ и ветвями, направленными вниз, поэтому она возрастает на $(-\infty; 6]$ и убывает на $[6; +\infty)$.

Ответ: $y = -(x - 6)^2$ (или, например, $y = -x^2 + 12x - 36$).

247. Функция задана формулой $y = x^2 + px + q$. Найдите значения $p$ и $q$, если известно, что:

а) нули функции — числа 3 и 4;

б) график функции пересекает оси координат в точках (0; 6) и (2; 0);

в) наименьшее значение, равное 24, функция принимает при $x = 6$.

а) нули функции — числа 3 и 4;

Нули функции – это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. Следовательно, $x_1 = 3$ и $x_2 = 4$ являются корнями квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$. Для нахождения коэффициентов $p$ и $q$ воспользуемся теоремой Виета.

Согласно теореме Виета для приведенного квадратного уравнения, сумма корней $x_1 + x_2$ равна второму коэффициенту с противоположным знаком ($-p$), а произведение корней $x_1 \cdot x_2$ равно свободному члену ($q$).

Подставляем известные значения корней $x_1 = 3$ и $x_2 = 4$:

$-p = x_1 + x_2 = 3 + 4 = 7$, откуда $p = -7$.

$q = x_1 \cdot x_2 = 3 \cdot 4 = 12$.

Ответ: $p = -7, q = 12$.

б) график функции пересекает оси координат в точках (0; 6) и (2; 0);

Если график функции проходит через точки $(0; 6)$ и $(2; 0)$, то координаты этих точек должны удовлетворять уравнению функции $y = x^2 + px + q$. Составим и решим систему уравнений, подставив координаты точек в уравнение.

Для точки $(0; 6)$:

$6 = 0^2 + p \cdot 0 + q \implies q = 6$.

Теперь, зная, что $q=6$, подставим в уравнение координаты точки $(2; 0)$:

$0 = 2^2 + p \cdot 2 + 6$

$0 = 4 + 2p + 6$

$0 = 10 + 2p$

$2p = -10 \implies p = -5$.

Ответ: $p = -5, q = 6$.

в) наименьшее значение, равное 24, функция принимает при x = 6.

Графиком функции $y = x^2 + px + q$ является парабола с ветвями вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительное число). Свое наименьшее значение такая функция принимает в вершине параболы.

Абсцисса вершины параболы $x_0$ для функции $y = ax^2+bx+c$ вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. В нашем случае $a=1, b=p$, поэтому $x_0 = -\frac{p}{2}$.

По условию, наименьшее значение достигается при $x = 6$, следовательно, абсцисса вершины $x_0=6$.

$6 = -\frac{p}{2} \implies p = -12$.

Наименьшее значение функции, равное 24, является ординатой вершины, то есть $y_0 = 24$. Таким образом, вершина параболы имеет координаты $(6; 24)$. Подставим эти координаты и найденное значение $p$ в уравнение функции, чтобы найти $q$:

$24 = 6^2 + (-12) \cdot 6 + q$

$24 = 36 - 72 + q$

$24 = -36 + q$

$q = 24 + 36 = 60$.

Ответ: $p = -12, q = 60$.