Номер 243, страница 72 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

243. Постройте график функции и опишите её свойства:

а) $y = x^2 + 2x - 15;$

б) $y = 0,5x^2 - 3x + 4;$

в) $y = 4 - 0,5x^2;$

г) $y = 6x - 2x^2;$

д) $y = (2x - 7)(x + 1);$

е) $y = (2 - x)(x + 6).$

а) $y = x^2 + 2x - 15;$

Это квадратичная функция, график которой — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a=1$, так как $a>0$, ветви параболы направлены вверх.

Построение графика:

1. Находим координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$
$y_0 = y(x_0) = (-1)^2 + 2(-1) - 15 = 1 - 2 - 15 = -16$
Координаты вершины: $(-1, -16)$. Ось симметрии: $x = -1$.

2. Находим точки пересечения с осями координат:
- С осью OY (при $x=0$): $y = -15$. Точка пересечения $(0, -15)$.
- С осью OX (при $y=0$): решаем уравнение $x^2 + 2x - 15 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 3, x_2 = -5$. Точки пересечения $(3, 0)$ и $(-5, 0)$.

3. Наносим на координатную плоскость вершину, точки пересечения с осями и, используя ось симметрии, строим параболу.

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = [-16; +\infty)$.
• Нули функции: $x=-5, x=3$.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-\infty; -5) \cup (3; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-5; 3)$.
• Промежутки монотонности: функция убывает на промежутке $(-\infty; -1]$ и возрастает на промежутке $[-1; +\infty)$.
• Наименьшее значение функции: $y_{min} = -16$ при $x = -1$.

Ответ: График — парабола с вершиной в точке $(-1, -16)$ и ветвями вверх. Нули функции: $x=-5, x=3$. Функция убывает до $x=-1$ и возрастает после.

б) $y = 0,5x^2 - 3x + 4;$

Это квадратичная функция, график — парабола. Ветви направлены вверх, так как $a=0,5 > 0$.

Построение графика:

1. Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2 \cdot 0,5} = 3$
$y_0 = y(3) = 0,5 \cdot 3^2 - 3 \cdot 3 + 4 = 4,5 - 9 + 4 = -0,5$
Вершина: $(3, -0,5)$. Ось симметрии: $x = 3$.

2. Точки пересечения с осями:
- С осью OY ($x=0$): $y = 4$. Точка $(0, 4)$.
- С осью OX ($y=0$): $0,5x^2 - 3x + 4 = 0$. Умножим на 2: $x^2 - 6x + 8 = 0$. Корни $x_1 = 2, x_2 = 4$. Точки $(2, 0)$ и $(4, 0)$.

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = [-0,5; +\infty)$.
• Нули функции: $x=2, x=4$.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 2) \cup (4; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (2; 4)$.
• Промежутки монотонности: функция убывает на $(-\infty; 3]$ и возрастает на $[3; +\infty)$.
• Наименьшее значение функции: $y_{min} = -0,5$ при $x = 3$.

Ответ: График — парабола с вершиной в точке $(3, -0,5)$ и ветвями вверх. Нули функции: $x=2, x=4$. Функция убывает до $x=3$ и возрастает после.

в) $y = 4 - 0,5x^2;$

Это квадратичная функция $y = -0,5x^2 + 4$, график — парабола. Ветви направлены вниз, так как $a=-0,5 < 0$.

Построение графика:

1. Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$:
$x_0 = -\frac{0}{2 \cdot (-0,5)} = 0$
$y_0 = y(0) = 4 - 0,5 \cdot 0^2 = 4$
Вершина: $(0, 4)$. Ось симметрии: $x = 0$ (ось OY).

2. Точки пересечения с осями:
- С осью OY: вершина параболы $(0, 4)$ лежит на оси OY.
- С осью OX ($y=0$): $4 - 0,5x^2 = 0 \Rightarrow 0,5x^2 = 4 \Rightarrow x^2 = 8 \Rightarrow x = \pm\sqrt{8} = \pm2\sqrt{2}$. Точки $(-2\sqrt{2}, 0)$ и $(2\sqrt{2}, 0)$. ($2\sqrt{2} \approx 2,83$)

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; 4]$.
• Нули функции: $x=-2\sqrt{2}, x=2\sqrt{2}$.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-2\sqrt{2}; 2\sqrt{2})$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; -2\sqrt{2}) \cup (2\sqrt{2}; +\infty)$.
• Промежутки монотонности: функция возрастает на $(-\infty; 0]$ и убывает на $[0; +\infty)$.
• Наибольшее значение функции: $y_{max} = 4$ при $x = 0$.
• Функция является четной, так как $y(-x) = y(x)$. График симметричен относительно оси OY.

Ответ: График — парабола с вершиной в точке $(0, 4)$ и ветвями вниз. Нули функции: $x=\pm2\sqrt{2}$. Функция возрастает до $x=0$ и убывает после.

г) $y = 6x - 2x^2;$

Это квадратичная функция $y = -2x^2 + 6x$, график — парабола. Ветви направлены вниз, так как $a=-2 < 0$.

Построение графика:

1. Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot (-2)} = 1,5$
$y_0 = y(1,5) = 6 \cdot 1,5 - 2 \cdot (1,5)^2 = 9 - 2 \cdot 2,25 = 9 - 4,5 = 4,5$
Вершина: $(1,5; 4,5)$. Ось симметрии: $x = 1,5$.

2. Точки пересечения с осями:
- С осью OY ($x=0$): $y = 0$. Точка $(0, 0)$.
- С осью OX ($y=0$): $6x - 2x^2 = 0 \Rightarrow 2x(3 - x) = 0$. Корни $x_1 = 0, x_2 = 3$. Точки $(0, 0)$ и $(3, 0)$.

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; 4,5]$.
• Нули функции: $x=0, x=3$.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (0; 3)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (3; +\infty)$.
• Промежутки монотонности: функция возрастает на $(-\infty; 1,5]$ и убывает на $[1,5; +\infty)$.
• Наибольшее значение функции: $y_{max} = 4,5$ при $x = 1,5$.

Ответ: График — парабола с вершиной в точке $(1,5; 4,5)$ и ветвями вниз. Нули функции: $x=0, x=3$. Функция возрастает до $x=1,5$ и убывает после.

д) $y = (2x - 7)(x + 1);$

Раскроем скобки: $y = 2x^2 + 2x - 7x - 7 = 2x^2 - 5x - 7$. Это квадратичная функция, график — парабола. Ветви направлены вверх, так как $a=2 > 0$.

Построение графика:

1. Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-5}{2 \cdot 2} = \frac{5}{4} = 1,25$
$y_0 = y(1,25) = 2(1,25)^2 - 5(1,25) - 7 = 2(1,5625) - 6,25 - 7 = 3,125 - 13,25 = -10,125$
Вершина: $(1,25; -10,125)$. Ось симметрии: $x = 1,25$.

2. Точки пересечения с осями:
- С осью OY ($x=0$): $y = -7$. Точка $(0, -7)$.
- С осью OX ($y=0$): $(2x - 7)(x + 1) = 0$. Корни $x_1 = 3,5, x_2 = -1$. Точки $(3,5; 0)$ и $(-1, 0)$.

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = [-10,125; +\infty)$.
• Нули функции: $x=-1, x=3,5$.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-\infty; -1) \cup (3,5; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-1; 3,5)$.
• Промежутки монотонности: функция убывает на $(-\infty; 1,25]$ и возрастает на $[1,25; +\infty)$.
• Наименьшее значение функции: $y_{min} = -10,125$ при $x = 1,25$.

Ответ: График — парабола с вершиной в точке $(1,25; -10,125)$ и ветвями вверх. Нули функции: $x=-1, x=3,5$. Функция убывает до $x=1,25$ и возрастает после.

е) $y = (2 - x)(x + 6).$

Раскроем скобки: $y = 2x + 12 - x^2 - 6x = -x^2 - 4x + 12$. Это квадратичная функция, график — парабола. Ветви направлены вниз, так как $a=-1 < 0$.

Построение графика:

1. Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot (-1)} = -2$
$y_0 = y(-2) = -(-2)^2 - 4(-2) + 12 = -4 + 8 + 12 = 16$
Вершина: $(-2, 16)$. Ось симметрии: $x = -2$.

2. Точки пересечения с осями:
- С осью OY ($x=0$): $y = 12$. Точка $(0, 12)$.
- С осью OX ($y=0$): $(2 - x)(x + 6) = 0$. Корни $x_1 = 2, x_2 = -6$. Точки $(2, 0)$ и $(-6, 0)$.

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; 16]$.
• Нули функции: $x=-6, x=2$.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-6; 2)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; -6) \cup (2; +\infty)$.
• Промежутки монотонности: функция возрастает на $(-\infty; -2]$ и убывает на $[-2; +\infty)$.
• Наибольшее значение функции: $y_{max} = 16$ при $x = -2$.

Ответ: График — парабола с вершиной в точке $(-2, 16)$ и ветвями вниз. Нули функции: $x=-6, x=2$. Функция возрастает до $x=-2$ и убывает после.