Номер 249, страница 73 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

249. Объясните, почему верно неравенство:

а) $5^{100} > 4^{100};$

б) $0,87^{100} < 0,89^{100};$

в) $1,5^{261} < 1,6^{261};$

г) $(\frac{2}{3})^{261} > (\frac{3}{5})^{261}.$

а) Неравенство $5^{100} > 4^{100}$ верно, поскольку сравниваются степени с одинаковым положительным показателем $100$. Для положительных оснований, чем больше основание, тем больше и результат возведения в одну и ту же положительную степень. Так как $5 > 4$, то и $5^{100} > 4^{100}$.
Ответ: неравенство верно, так как $5 > 4$.

б) Неравенство $0.87^{100} < 0.89^{100}$ верно, так как показатели степени одинаковы и положительны ($100 > 0$). Сравниваем основания: $0.87 < 0.89$. Поскольку основания положительны, при возведении их в одинаковую положительную степень знак неравенства сохраняется. Следовательно, $0.87^{100} < 0.89^{100}$.
Ответ: неравенство верно, так как $0.87 < 0.89$.

в) В неравенстве $1.5^{261} < 1.6^{261}$ показатели степени равны ($261$) и являются положительным числом. Сравним основания: $1.5 < 1.6$. Так как основания положительны, при возведении в одну и ту же положительную степень знак неравенства не меняется. Поэтому неравенство $1.5^{261} < 1.6^{261}$ является верным.
Ответ: неравенство верно, так как $1.5 < 1.6$.

г) В неравенстве $\left(\frac{2}{3}\right)^{261} > \left(\frac{3}{5}\right)^{261}$ показатели степени также одинаковы и положительны ($261 > 0$). Для того чтобы сравнить значения, сначала сравним их основания: $\frac{2}{3}$ и $\frac{3}{5}$. Для этого приведем дроби к общему знаменателю $15$:
$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{10}{15}$
$\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{9}{15}$
Так как $10 > 9$, то $\frac{10}{15} > \frac{9}{15}$, и, следовательно, $\frac{2}{3} > \frac{3}{5}$. Поскольку большему положительному основанию соответствует большая степень, неравенство $\left(\frac{2}{3}\right)^{261} > \left(\frac{3}{5}\right)^{261}$ верно.
Ответ: неравенство верно, так как $\frac{2}{3} > \frac{3}{5}$.