Номер 246, страница 72 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

246. Задайте формулой какую-либо квадратичную функцию, которая:

а) в промежутке $(-\infty; -3]$ убывает, а в промежутке $[-3; +\infty)$ возрастает;

б) в промежутке $(-\infty; 6]$ возрастает, а в промежутке $[6; +\infty)$ убывает.

а) в промежутке $(-\infty; -3]$ убывает, а в промежутке $[-3; +\infty)$ возрастает;

Квадратичная функция задается формулой $y = ax^2 + bx + c$, где $a \neq 0$. Ее график — парабола. Поведение функции (возрастание/убывание) зависит от знака коэффициента $a$ и положения вершины параболы.

Если функция сначала убывает, а затем возрастает, это означает, что у нее есть точка минимума. Это соответствует параболе, ветви которой направлены вверх. Для этого старший коэффициент $a$ должен быть положительным ($a > 0$).

Точка, в которой убывание сменяется возрастанием, является вершиной параболы. Согласно условию, это происходит в точке $x = -3$. Следовательно, абсцисса вершины параболы $x_v = -3$.

Наиболее удобный способ задать такую функцию — использовать формулу квадратичной функции в вершинном виде: $y = a(x - x_v)^2 + y_v$, где $(x_v; y_v)$ — координаты вершины.

Нам нужно, чтобы $a > 0$ и $x_v = -3$. Коэффициент $a$ и ордината вершины $y_v$ могут быть любыми, удовлетворяющими этому условию. Для простоты выберем $a=1$ и $y_v=0$.

Подставим эти значения в формулу:

$y = 1 \cdot (x - (-3))^2 + 0$

Упрощая, получаем:

$y = (x + 3)^2$

Это и есть искомая формула. Мы можем также представить ее в стандартном виде, раскрыв скобки: $y = x^2 + 6x + 9$. Эта функция является параболой с вершиной в точке $(-3, 0)$ и ветвями, направленными вверх, поэтому она убывает на $(-\infty; -3]$ и возрастает на $[-3; +\infty)$.

Ответ: $y = (x + 3)^2$ (или, например, $y = x^2 + 6x + 9$).

б) в промежутке $(-\infty; 6]$ возрастает, а в промежутке $[6; +\infty)$ убывает.

Если функция сначала возрастает, а затем убывает, это означает, что у нее есть точка максимума. Это соответствует параболе, ветви которой направлены вниз. Для этого старший коэффициент $a$ должен быть отрицательным ($a < 0$).

Точка, в которой возрастание сменяется убыванием, является вершиной параболы. Согласно условию, это происходит в точке $x = 6$. Следовательно, абсцисса вершины параболы $x_v = 6$.

Снова используем вершинный вид формулы: $y = a(x - x_v)^2 + y_v$.

Нам нужно, чтобы $a < 0$ и $x_v = 6$. Выберем самые простые значения: $a = -1$ и $y_v = 0$.

Подставим эти значения в формулу:

$y = -1 \cdot (x - 6)^2 + 0$

Упрощая, получаем:

$y = -(x - 6)^2$

Это и есть искомая формула. В стандартном виде она выглядит так: $y = -(x^2 - 12x + 36) = -x^2 + 12x - 36$. Эта функция является параболой с вершиной в точке $(6, 0)$ и ветвями, направленными вниз, поэтому она возрастает на $(-\infty; 6]$ и убывает на $[6; +\infty)$.

Ответ: $y = -(x - 6)^2$ (или, например, $y = -x^2 + 12x - 36$).