Номер 239, страница 72 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

239. При каких значениях $b$ и $c$ вершиной параболы $y = x^2 + bx + c$ является точка $(6; -12)$?

Для параболы, заданной уравнением $y = ax^2 + bx + c$, координата $x$ её вершины $(x_v, y_v)$ находится по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$.

В нашем уравнении $y = x^2 + bx + c$ коэффициент при старшей степени $a = 1$. По условию задачи, вершина параболы находится в точке $(6; -12)$, следовательно, абсцисса вершины $x_v = 6$.

Подставим известные значения $x_v = 6$ и $a = 1$ в формулу для абсциссы вершины, чтобы найти значение коэффициента $b$:

$6 = -\frac{b}{2 \cdot 1}$

$6 = -\frac{b}{2}$

Отсюда находим $b$:

$b = 6 \cdot (-2) = -12$

Теперь мы знаем, что уравнение параболы имеет вид $y = x^2 - 12x + c$.

Поскольку точка $(6; -12)$ является вершиной, она принадлежит графику функции. Это означает, что её координаты удовлетворяют уравнению параболы. Подставим значения $x = 6$ и $y = -12$ в полученное уравнение, чтобы найти коэффициент $c$:

$-12 = (6)^2 - 12 \cdot (6) + c$

$-12 = 36 - 72 + c$

$-12 = -36 + c$

Отсюда находим $c$:

$c = -12 + 36$

$c = 24$

Таким образом, искомые значения коэффициентов: $b = -12$ и $c = 24$.

Проверка: можно также использовать вершинную формулу параболы $y = a(x - x_v)^2 + y_v$. Подставив $a = 1$, $x_v=6$ и $y_v=-12$, получаем: $y = 1(x - 6)^2 - 12 = x^2 - 12x + 36 - 12 = x^2 - 12x + 24$. Сравнивая с $y = x^2 + bx + c$, видим, что $b = -12$ и $c = 24$.

Ответ: $b = -12, c = 24$.