Номер 256, страница 73 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

256. Сколько корней имеет уравнение:

а) $x^{10} = 2;$

б) $x^{10} = 0;$

в) $x^{10} = -3;$

г) $x^7 = 5;$

д) $x^7 = 0;$

е) $x^7 = -1?$

а)

Рассмотрим уравнение $x^{10} = 2$.
Показатель степени $n=10$ является четным числом, а правая часть уравнения $c=2$ — положительное число ($c > 0$).
Уравнение вида $x^n = c$, где $n$ — четное, а $c > 0$, всегда имеет два действительных корня: $x_1 = \sqrt[n]{c}$ и $x_2 = -\sqrt[n]{c}$.
В данном случае это корни $x = \sqrt[10]{2}$ и $x = -\sqrt[10]{2}$.
Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: 2.

б)

Рассмотрим уравнение $x^{10} = 0$.
Уравнение вида $x^n = 0$ при любом натуральном $n$ имеет только один корень.
Этим корнем является $x=0$, так как только ноль в любой степени равен нулю.

Ответ: 1.

в)

Рассмотрим уравнение $x^{10} = -3$.
Показатель степени $n=10$ — четное число. Любое действительное число, возведенное в четную степень, дает неотрицательный результат, то есть $x^{10} \ge 0$ для любого действительного $x$.
Правая часть уравнения, $-3$, является отрицательным числом.
Поскольку неотрицательное число не может равняться отрицательному, данное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: 0.

г)

Рассмотрим уравнение $x^7 = 5$.
Показатель степени $n=7$ является нечетным числом.
Уравнение вида $x^n = c$, где $n$ — нечетное, всегда имеет ровно один действительный корень $x = \sqrt[n]{c}$ для любого действительного числа $c$ (положительного, отрицательного или нуля).
В данном случае корень $x = \sqrt[7]{5}$.

Ответ: 1.

д)

Рассмотрим уравнение $x^7 = 0$.
Как и в пункте б), уравнение вида $x^n = 0$ имеет единственный корень $x=0$, так как только $0^7=0$.

Ответ: 1.

е)

Рассмотрим уравнение $x^7 = -1$.
Показатель степени $n=7$ — нечетное число, а правая часть $c=-1$ — отрицательное число.
Как и в пункте г), уравнение с нечетным показателем степени всегда имеет один действительный корень.
В данном случае корень равен $x = \sqrt[7]{-1}$, что равно $-1$.

Ответ: 1.