Номер 262, страница 74 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

262. Найдите область определения функции:

а) $y = \sqrt{0,1x - 2}$;

б) $y = \sqrt[4]{5 - 2x}$;

в) $y = \sqrt[3]{8x + 1}.

а) $y = \sqrt{0,1x - 2}$

Областью определения функции, содержащей квадратный корень (или любой корень четной степени), является множество всех значений переменной $x$, при которых подкоренное выражение неотрицательно (то есть больше или равно нулю). Это необходимо, так как в области действительных чисел нельзя извлечь корень четной степени из отрицательного числа.

Составим и решим соответствующее неравенство:

$0,1x - 2 \ge 0$

Для решения неравенства сначала перенесем слагаемое $-2$ в правую часть, изменив его знак:

$0,1x \ge 2$

Теперь разделим обе части неравенства на положительное число $0,1$. Знак неравенства при этом не меняется:

$x \ge \frac{2}{0,1}$

$x \ge 20$

Таким образом, функция определена для всех значений $x$, которые больше или равны 20. В виде промежутка это записывается как $[20; +\infty)$.

Ответ: $D(y) = [20; +\infty)$.

б) $y = \sqrt[4]{5 - 2x}$

Данная функция содержит корень четвертой степени. Показатель корня (4) является четным числом, поэтому, как и в предыдущем случае, подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

Составим и решим неравенство:

$5 - 2x \ge 0$

Перенесем слагаемое $5$ в правую часть неравенства:

$-2x \ge -5$

Разделим обе части неравенства на $-2$. Важно помнить, что при делении или умножении неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный ( $\ge$ на $\le$ ):

$x \le \frac{-5}{-2}$

$x \le 2,5$

Следовательно, область определения функции — это все числа, которые меньше или равны 2,5. В виде промежутка это записывается как $(-\infty; 2,5]$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; 2,5]$.

в) $y = \sqrt[3]{8x + 1}$

В этой функции мы имеем дело с кубическим корнем. Показатель корня (3) — нечетное число. В отличие от корней четной степени, корень нечетной степени можно извлекать из любого действительного числа, будь оно положительным, отрицательным или равным нулю. Например, $\sqrt[3]{8} = 2$ и $\sqrt[3]{-8} = -2$.

Поскольку подкоренное выражение $8x + 1$ является линейной функцией, которая определена для любых действительных значений $x$, и из любого результата можно извлечь кубический корень, то никаких ограничений на переменную $x$ не накладывается.

Таким образом, область определения данной функции — множество всех действительных чисел.

Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.