Номер 264, страница 74 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

264. Постройте график функции:

а) $y = -\sqrt{x};$

б) $y = -\sqrt[3]{x};$

в) $y = \sqrt{-x};$

г) $y = \sqrt[3]{-x}.

Чем отличаются друг от друга графики функций $y = -\sqrt{x}$ и $y = \sqrt{-x}? y = -\sqrt[3]{x}$ и $y = \sqrt[3]{-x}$?

а) Для построения графика функции $y = -\sqrt{x}$ воспользуемся графиком основной функции $y = \sqrt{x}$. График функции $y = \sqrt{x}$ представляет собой ветвь параболы, выходящую из начала координат и расположенную в первой координатной четверти.

График функции $y = -f(x)$ получается из графика $y=f(x)$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс (оси Ox). Следовательно, для построения графика $y = -\sqrt{x}$ необходимо отразить график $y = \sqrt{x}$ относительно оси Ox.

Область определения функции $y = -\sqrt{x}$ определяется условием $x \ge 0$, то есть $D(y) = [0, +\infty)$. Область значений функции: поскольку $\sqrt{x} \ge 0$, то $-\sqrt{x} \le 0$, следовательно $E(y) = (-\infty, 0]$.

Для построения найдем несколько ключевых точек. При $x=0$, $y=0$. При $x=1$, $y=-1$. При $x=4$, $y=-2$. При $x=9$, $y=-3$.

Ответ: График функции $y = -\sqrt{x}$ — это ветвь параболы, симметричная графику $y = \sqrt{x}$ относительно оси Ox. Она начинается в точке (0, 0) и расположена в IV координатной четверти.

б) Для построения графика функции $y = -\sqrt[3]{x}$ возьмем за основу график функции $y = \sqrt[3]{x}$. График $y = \sqrt[3]{x}$ проходит через начало координат, расположен в I и III координатных четвертях и симметричен относительно начала координат.

График функции $y = -\sqrt[3]{x}$ получается из графика $y = \sqrt[3]{x}$ путем симметричного отражения относительно оси Ox.

Область определения и область значений функции — все действительные числа: $D(y) = (-\infty, +\infty)$, $E(y) = (-\infty, +\infty)$.

Найдем несколько ключевых точек. При $x=0$, $y=0$. При $x=1$, $y=-1$. При $x=8$, $y=-2$. При $x=-1$, $y=1$. При $x=-8$, $y=2$.

Ответ: График функции $y = -\sqrt[3]{x}$ является отражением графика $y = \sqrt[3]{x}$ относительно оси Ox. Он расположен во II и IV координатных четвертях и симметричен относительно начала координат.

в) Для построения графика функции $y = \sqrt{-x}$ воспользуемся графиком основной функции $y = \sqrt{x}$.

График функции $y = f(-x)$ получается из графика $y=f(x)$ путем симметричного отражения относительно оси ординат (оси Oy). Следовательно, для построения графика $y = \sqrt{-x}$ необходимо отразить график $y = \sqrt{x}$ относительно оси Oy.

Область определения функции $y = \sqrt{-x}$ определяется условием $-x \ge 0$, то есть $x \le 0$. Таким образом, $D(y) = (-\infty, 0]$. Область значений функции: $E(y) = [0, +\infty)$.

Найдем несколько ключевых точек. При $x=0$, $y=0$. При $x=-1$, $y=1$. При $x=-4$, $y=2$. При $x=-9$, $y=3$.

Ответ: График функции $y = \sqrt{-x}$ — это ветвь параболы, симметричная графику $y = \sqrt{x}$ относительно оси Oy. Она начинается в точке (0, 0) и расположена во II координатной четверти.

г) Для построения графика функции $y = \sqrt[3]{-x}$ воспользуемся графиком основной функции $y = \sqrt[3]{x}$.

График функции $y = \sqrt[3]{-x}$ можно получить отражением графика $y = \sqrt[3]{x}$ относительно оси Oy. Однако, для корня нечетной степени справедливо тождество $\sqrt[3]{-x} = -\sqrt[3]{x}$. Это означает, что функция $y = \sqrt[3]{-x}$ идентична функции $y = -\sqrt[3]{x}$ из пункта б).

Область определения и область значений — все действительные числа: $D(y) = (-\infty, +\infty)$, $E(y) = (-\infty, +\infty)$.

Ключевые точки будут теми же, что и для функции из пункта б). При $x=0$, $y=0$. При $x=1$, $y=-1$. При $x=8$, $y=-2$. При $x=-1$, $y=1$. При $x=-8$, $y=2$.

Ответ: График функции $y = \sqrt[3]{-x}$ полностью совпадает с графиком функции $y = -\sqrt[3]{x}$.

Чем отличаются друг от друга графики функций $y = -\sqrt{x}$ и $y = \sqrt{-x}$? $y = -\sqrt[3]{x}$ и $y = \sqrt[3]{-x}$?

Рассмотрим первую пару функций: $y = -\sqrt{x}$ и $y = \sqrt{-x}$.
График функции $y = -\sqrt{x}$ расположен в IV координатной четверти (область определения $x \ge 0$, область значений $y \le 0$). График функции $y = \sqrt{-x}$ расположен во II координатной четверти (область определения $x \le 0$, область значений $y \ge 0$). Графики пересекаются в точке (0, 0) и симметричны друг другу относительно начала координат. Это означает, что если точка $(a, b)$ лежит на графике $y=-\sqrt{x}$, то точка $(-a, -b)$ лежит на графике $y=\sqrt{-x}$.

Рассмотрим вторую пару функций: $y = -\sqrt[3]{x}$ и $y = \sqrt[3]{-x}$.
Для корня нечетной степени (в данном случае, кубического) справедливо тождество $\sqrt[n]{-a} = -\sqrt[n]{a}$ для любого действительного $a$. Таким образом, $\sqrt[3]{-x} = -\sqrt[3]{x}$. Это значит, что обе формулы задают одну и ту же функцию, и их графики ничем не отличаются.

Ответ: Графики функций $y = -\sqrt{x}$ и $y = \sqrt{-x}$ симметричны друг другу относительно начала координат. Графики функций $y = -\sqrt[3]{x}$ и $y = \sqrt[3]{-x}$ полностью совпадают.