Номер 260, страница 74 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

260. Сравните значения корней:

a) $ \sqrt[3]{23} $ и $ \sqrt[3]{27} $;

б) $ \sqrt[3]{-5} $ и $ \sqrt[3]{-4} $;

в) $ \sqrt[3]{-0.1} $ и $ \sqrt[3]{0.01} $.

а) Для сравнения значений корней $\sqrt[3]{23}$ и $\sqrt[3]{27}$ используется свойство монотонности функции кубического корня. Функция $y=\sqrt[3]{x}$ является возрастающей на всей числовой прямой. Это значит, что большему значению аргумента (подкоренного выражения) соответствует большее значение функции (корня).
Сравним подкоренные выражения: $23$ и $27$.
Поскольку $23 < 27$, то, согласно свойству возрастающей функции, $\sqrt[3]{23} < \sqrt[3]{27}$.
Ответ: $\sqrt[3]{23} < \sqrt[3]{27}$.

б) Чтобы сравнить $\sqrt[3]{-5}$ и $\sqrt[3]{-4}$, применим тот же принцип. Функция $y=\sqrt[3]{x}$ возрастает для всех действительных чисел, включая отрицательные.
Сравним подкоренные выражения: $-5$ и $-4$.
На числовой оси $-5$ находится левее, чем $-4$, следовательно, $-5 < -4$.
Так как функция кубического корня возрастающая, то из неравенства $-5 < -4$ следует, что $\sqrt[3]{-5} < \sqrt[3]{-4}$.
Ответ: $\sqrt[3]{-5} < \sqrt[3]{-4}$.

в) Необходимо сравнить $\sqrt[3]{-0,1}$ и $\sqrt[3]{0,01}$.
Сравним подкоренные выражения: $-0,1$ и $0,01$.
Число $-0,1$ является отрицательным, а $0,01$ — положительным. Любое отрицательное число меньше любого положительного, поэтому $-0,1 < 0,01$.
Так как функция $y=\sqrt[3]{x}$ возрастает на всей области определения, то и $\sqrt[3]{-0,1} < \sqrt[3]{0,01}$.
Также можно рассуждать иначе: корень нечетной степени (в данном случае, кубический) из отрицательного числа есть число отрицательное, а из положительного числа — положительное. Таким образом, $\sqrt[3]{-0,1}$ — отрицательное число, а $\sqrt[3]{0,01}$ — положительное. Следовательно, $\sqrt[3]{-0,1} < \sqrt[3]{0,01}$.
Ответ: $\sqrt[3]{-0,1} < \sqrt[3]{0,01}$.