Номер 268, страница 80 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

268. Докажите, что уравнение $5x^6 + 6x^4 + x^2 + 4 = 0$ не имеет корней.

Для того чтобы доказать, что уравнение $5x^6 + 6x^4 + x^2 + 4 = 0$ не имеет корней, проанализируем его левую часть.

Обратим внимание, что переменная $x$ входит в уравнение только в четных степенях: $x^6$, $x^4$ и $x^2$. Любое действительное число, возведенное в четную степень, дает неотрицательный результат. Таким образом, для любого действительного значения $x$:

• $x^6 \ge 0$
• $x^4 \ge 0$
• $x^2 \ge 0$

Коэффициенты при этих слагаемых (5, 6 и 1) являются положительными числами. Произведение положительного числа на неотрицательное также является неотрицательным:

• $5x^6 \ge 0$
• $6x^4 \ge 0$
• $x^2 \ge 0$

Сумма нескольких неотрицательных слагаемых всегда является неотрицательной величиной: $5x^6 + 6x^4 + x^2 \ge 0$

Если к этому неотрицательному выражению прибавить положительное число 4, то итоговая сумма будет строго больше нуля. Точнее, она будет больше или равна 4: $5x^6 + 6x^4 + x^2 + 4 \ge 0 + 4$ $5x^6 + 6x^4 + x^2 + 4 \ge 4$

Мы получили, что левая часть уравнения при любом действительном $x$ всегда принимает значение, которое больше или равно 4. Следовательно, левая часть уравнения никогда не может быть равна нулю.

Поскольку левая часть уравнения не может равняться нулю, то и само уравнение не имеет решений (корней).

Ответ: Уравнение не имеет корней, так как его левая часть $5x^6 + 6x^4 + x^2 + 4$ при любом действительном значении $x$ всегда больше или равна 4, и, следовательно, не может быть равна 0.