Номер 271, страница 80 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

271. Первое число на 5 больше второго, а его куб на 3185 больше куба второго. Найдите эти числа.

Пусть второе число равно $x$.

Согласно условию, первое число на 5 больше второго, следовательно, оно равно $x + 5$.

Куб первого числа — это $(x + 5)^3$, а куб второго числа — $x^3$. По условию, разность между кубом первого числа и кубом второго числа равна 3185. Составим и решим уравнение:

$(x + 5)^3 - x^3 = 3185$

Для раскрытия скобок воспользуемся формулой куба суммы: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

$x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 5 + 3 \cdot x \cdot 5^2 + 5^3 - x^3 = 3185$

Упростим полученное выражение:

$x^3 + 15x^2 + 75x + 125 - x^3 = 3185$

Приведем подобные слагаемые:

$15x^2 + 75x + 125 = 3185$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$15x^2 + 75x + 125 - 3185 = 0$

$15x^2 + 75x - 3060 = 0$

Все коэффициенты в уравнении делятся на 15. Разделим обе части уравнения на 15 для его упрощения:

$x^2 + 5x - 204 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-204) = 25 + 816 = 841$

Найдем корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{841}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 \pm 29}{2}$

$x_1 = \frac{-5 + 29}{2} = \frac{24}{2} = 12$

$x_2 = \frac{-5 - 29}{2} = \frac{-34}{2} = -17$

Мы получили два возможных значения для второго числа. Найдем соответствующие им первые числа.

1. Если второе число $x_1 = 12$, то первое число равно $12 + 5 = 17$.
Проверка: $17^3 - 12^3 = 4913 - 1728 = 3185$. Верно.

2. Если второе число $x_2 = -17$, то первое число равно $-17 + 5 = -12$.
Проверка: $(-12)^3 - (-17)^3 = -1728 - (-4913) = -1728 + 4913 = 3185$. Верно.

Таким образом, условию задачи удовлетворяют две пары чисел.

Ответ: 17 и 12, или -12 и -17.