Номер 270, страница 80 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

270. Если ребро куба увеличить на 3 см, то его объём увеличится на $513 \text{ см}^3$. Чему равно ребро куба?

Пусть $a$ — длина ребра исходного куба в сантиметрах. Тогда его объём $V_1$ равен:
$V_1 = a^3$

Если ребро куба увеличить на 3 см, то его новая длина составит $(a + 3)$ см. Объём нового куба $V_2$ будет равен:
$V_2 = (a + 3)^3$

По условию задачи, объём увеличился на 513 см³. Это значит, что разница между новым и первоначальным объёмом равна 513:
$V_2 - V_1 = 513$

Подставим выражения для объёмов в это уравнение:
$(a + 3)^3 - a^3 = 513$

Для решения уравнения раскроем скобки, используя формулу куба суммы $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$:
$(a^3 + 3 \cdot a^2 \cdot 3 + 3 \cdot a \cdot 3^2 + 3^3) - a^3 = 513$
$a^3 + 9a^2 + 27a + 27 - a^3 = 513$

Упростим полученное выражение:
$9a^2 + 27a + 27 = 513$

Приведём уравнение к стандартному квадратному виду $Ax^2 + Bx + C = 0$, перенеся 513 в левую часть:
$9a^2 + 27a + 27 - 513 = 0$
$9a^2 + 27a - 486 = 0$

Чтобы упростить вычисления, разделим все члены уравнения на их общий делитель — 9:
$a^2 + 3a - 54 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-54) = 9 + 216 = 225$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдём их:
$a_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 15}{2} = \frac{12}{2} = 6$
$a_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 15}{2} = \frac{-18}{2} = -9$

Длина ребра куба не может быть отрицательной, поэтому корень $a_2 = -9$ не подходит по смыслу задачи.
Следовательно, длина ребра исходного куба равна 6 см.

Ответ: 6 см.