Номер 274, страница 80 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

274. Решите уравнение:

а) $x^3 + 7x^2 - 6 = 0;$

б) $x^3 + 4x^2 - 5 = 0.$

а) $x^3 + 7x^2 - 6 = 0$

Данное уравнение является кубическим уравнением с целыми коэффициентами. Для нахождения его корней можно воспользоваться теоремой о рациональных корнях. Согласно этой теореме, если уравнение имеет рациональные корни, то они являются делителями свободного члена ($-6$), деленными на делители старшего коэффициента (1).
Делители свободного члена $-6$: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$.
Делители старшего коэффициента $1$: $\pm1$.
Таким образом, возможные рациональные корни уравнения: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$.
Выполним проверку, подставляя эти значения в уравнение:
Пусть $P(x) = x^3 + 7x^2 - 6$.
При $x = 1$: $P(1) = 1^3 + 7(1)^2 - 6 = 1 + 7 - 6 = 2 \neq 0$.
При $x = -1$: $P(-1) = (-1)^3 + 7(-1)^2 - 6 = -1 + 7 - 6 = 0$.
Мы нашли один корень $x_1 = -1$. Это означает, что многочлен $x^3 + 7x^2 - 6$ делится на двучлен $(x - (-1)) = (x+1)$ без остатка.
Выполним деление многочлена на $(x+1)$ (например, используя схему Горнера или деление в столбик). В результате деления получим квадратный трехчлен $x^2 + 6x - 6$.
Теперь исходное уравнение можно представить в виде произведения:
$(x+1)(x^2 + 6x - 6) = 0$.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Один корень мы уже знаем: $x_1 = -1$.
Найдем остальные корни, решив квадратное уравнение $x^2 + 6x - 6 = 0$ с помощью дискриминанта.
$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 36 + 24 = 60$.
$x_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm \sqrt{60}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{4 \cdot 15}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{15}}{2} = -3 \pm \sqrt{15}$.
Таким образом, мы получили еще два корня: $x_2 = -3 + \sqrt{15}$ и $x_3 = -3 - \sqrt{15}$.

Ответ: $-1; -3 - \sqrt{15}; -3 + \sqrt{15}$.

б) $x^3 + 4x^2 - 5 = 0$

Это также кубическое уравнение с целыми коэффициентами. Воспользуемся теоремой о рациональных корнях.
Делители свободного члена $-5$: $\pm1, \pm5$.
Делители старшего коэффициента $1$: $\pm1$.
Возможные рациональные корни: $\pm1, \pm5$.
Проверим эти значения:
Пусть $P(x) = x^3 + 4x^2 - 5$.
При $x = 1$: $P(1) = 1^3 + 4(1)^2 - 5 = 1 + 4 - 5 = 0$.
Мы нашли корень $x_1 = 1$. Следовательно, многочлен $x^3 + 4x^2 - 5$ делится на $(x-1)$ без остатка.
Выполним деление многочлена на $(x-1)$ и получим $x^2 + 5x + 5$.
Запишем уравнение в виде:
$(x-1)(x^2 + 5x + 5) = 0$.
Один корень известен: $x_1 = 1$.
Найдем остальные корни из квадратного уравнения $x^2 + 5x + 5 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 25 - 20 = 5$.
Корни уравнения:
$x_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{5}}{2}$.
Мы получили еще два корня: $x_2 = \frac{-5 - \sqrt{5}}{2}$ и $x_3 = \frac{-5 + \sqrt{5}}{2}$.

Ответ: $1; \frac{-5 - \sqrt{5}}{2}; \frac{-5 + \sqrt{5}}{2}$.