Номер 278, страница 80 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

278. Решите биквадратное уравнение:

a) $x^4 - 5x^2 - 36 = 0;$

б) $y^4 - 6y^2 + 8 = 0;$

в) $t^4 + 10t^2 + 25 = 0;$

г) $4x^4 - 5x^2 + 1 = 0;$

д) $9x^4 - 9x^2 + 2 = 0;$

е) $16y^4 - 8y^2 + 1 = 0.$

а) $x^4 - 5x^2 - 36 = 0$

Данное уравнение является биквадратным. Для его решения введем новую переменную. Пусть $t = x^2$. Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, должно выполняться условие $t \ge 0$.

Подставив $t$ в исходное уравнение, получим квадратное уравнение:

$t^2 - 5t - 36 = 0$

Решим это уравнение относительно $t$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169$

$\sqrt{D} = \sqrt{169} = 13$

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{-(-5) + 13}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 13}{2} = \frac{18}{2} = 9$

$t_2 = \frac{-(-5) - 13}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 13}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$.

Корень $t_1 = 9$ удовлетворяет условию, так как $9 > 0$.

Корень $t_2 = -4$ не удовлетворяет условию, так как $-4 < 0$. Этот корень является посторонним.

Теперь выполним обратную замену для подходящего корня $t_1 = 9$:

$x^2 = 9$

Отсюда находим корни исходного уравнения:

$x_1 = 3$, $x_2 = -3$.

Ответ: $-3; 3$.

б) $y^4 - 6y^2 + 8 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной: пусть $t = y^2$, где $t \ge 0$.

Получим квадратное уравнение:

$t^2 - 6t + 8 = 0$

Решим его. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 6, произведение равно 8. Корни $t_1 = 4$ и $t_2 = 2$. Или через дискриминант:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4$

$\sqrt{D} = \sqrt{4} = 2$

Корни для $t$:

$t_1 = \frac{6 + 2}{2} = 4$

$t_2 = \frac{6 - 2}{2} = 2$

Оба корня $t_1 = 4$ и $t_2 = 2$ удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Выполним обратную замену для каждого корня:

1) $y^2 = 4 \Rightarrow y_{1,2} = \pm\sqrt{4} \Rightarrow y_1 = 2, y_2 = -2$.

2) $y^2 = 2 \Rightarrow y_{3,4} = \pm\sqrt{2}$.

Ответ: $-2; -\sqrt{2}; \sqrt{2}; 2$.

в) $t^4 + 10t^2 + 25 = 0$

Сделаем замену переменной: пусть $z = t^2$, где $z \ge 0$.

Уравнение примет вид:

$z^2 + 10z + 25 = 0$

Можно заметить, что левая часть является полным квадратом:

$(z + 5)^2 = 0$

Отсюда $z + 5 = 0 \Rightarrow z = -5$.

Полученный корень $z = -5$ не удовлетворяет условию $z \ge 0$.

Следовательно, уравнение $z^2 + 10z + 25 = 0$ не имеет неотрицательных корней, а значит и исходное биквадратное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: действительных корней нет.

г) $4x^4 - 5x^2 + 1 = 0$

Пусть $t = x^2$, где $t \ge 0$.

Получаем квадратное уравнение: $4t^2 - 5t + 1 = 0$.

Решим его через дискриминант:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 25 - 16 = 9$

$\sqrt{D} = \sqrt{9} = 3$

Корни для $t$:

$t_1 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 4} = \frac{8}{8} = 1$

$t_2 = \frac{5 - 3}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

Оба корня, $t_1 = 1$ и $t_2 = \frac{1}{4}$, положительны и удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Выполним обратную замену:

1) $x^2 = 1 \Rightarrow x_{1,2} = \pm 1$.

2) $x^2 = \frac{1}{4} \Rightarrow x_{3,4} = \pm\sqrt{\frac{1}{4}} = \pm\frac{1}{2}$.

Ответ: $-1; -\frac{1}{2}; \frac{1}{2}; 1$.

д) $9x^4 - 9x^2 + 2 = 0$

Пусть $t = x^2$, где $t \ge 0$.

Получаем квадратное уравнение: $9t^2 - 9t + 2 = 0$.

Решим его через дискриминант:

$D = (-9)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 2 = 81 - 72 = 9$

$\sqrt{D} = \sqrt{9} = 3$

Корни для $t$:

$t_1 = \frac{9 + 3}{2 \cdot 9} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$

$t_2 = \frac{9 - 3}{2 \cdot 9} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$

Оба корня, $t_1 = \frac{2}{3}$ и $t_2 = \frac{1}{3}$, положительны и удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Выполним обратную замену:

1) $x^2 = \frac{2}{3} \Rightarrow x_{1,2} = \pm\sqrt{\frac{2}{3}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \pm\frac{\sqrt{6}}{3}$.

2) $x^2 = \frac{1}{3} \Rightarrow x_{3,4} = \pm\sqrt{\frac{1}{3}} = \pm\frac{1}{\sqrt{3}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{6}}{3}; -\frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{\sqrt{6}}{3}$.

е) $16y^4 - 8y^2 + 1 = 0$

Пусть $t = y^2$, где $t \ge 0$.

Уравнение примет вид: $16t^2 - 8t + 1 = 0$.

Это формула квадрата разности:

$(4t - 1)^2 = 0$

Отсюда $4t - 1 = 0 \Rightarrow 4t = 1 \Rightarrow t = \frac{1}{4}$.

Корень $t = \frac{1}{4}$ удовлетворяет условию $t \ge 0$.

Выполним обратную замену:

$y^2 = \frac{1}{4}$

$y_{1,2} = \pm\sqrt{\frac{1}{4}} = \pm\frac{1}{2}$.

Ответ: $-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}$.