Номер 283, страница 81 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

283. Решите уравнение:

а) $x^5 + x^4 - 6x^3 - 6x^2 + 5x + 5 = 0;$

б) $x^5 - x^4 - 2x^3 + 2x^2 - 3x + 3 = 0.$

а) $x^5 + x^4 - 6x^3 - 6x^2 + 5x + 5 = 0$

Данное уравнение является многочленом пятой степени. Для его решения применим метод группировки слагаемых.

Сгруппируем слагаемые попарно:

$(x^5 + x^4) - (6x^3 + 6x^2) + (5x + 5) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы за скобки:

$x^4(x + 1) - 6x^2(x + 1) + 5(x + 1) = 0$

Теперь мы видим общий множитель $(x + 1)$, который можно вынести за скобки всего выражения:

$(x + 1)(x^4 - 6x^2 + 5) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассматриваем два случая:

1) $x + 1 = 0$

$x_1 = -1$

2) $x^4 - 6x^2 + 5 = 0$

Это биквадратное уравнение. Для его решения введем замену переменной. Пусть $y = x^2$. Так как $x^2 \ge 0$, то и $y \ge 0$. Уравнение принимает вид квадратного:

$y^2 - 6y + 5 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 6, а их произведение равно 5. Легко подобрать корни:

$y_1 = 1$

$y_2 = 5$

Оба корня неотрицательны, поэтому они нам подходят. Теперь выполним обратную замену:

Для $y_1 = 1$:
$x^2 = 1 \implies x = \pm\sqrt{1} \implies x_2 = 1, x_3 = -1$.

Для $y_2 = 5$:
$x^2 = 5 \implies x = \pm\sqrt{5} \implies x_4 = \sqrt{5}, x_5 = -\sqrt{5}$.

Собираем все найденные уникальные корни: $-1, 1, \sqrt{5}, -\sqrt{5}$.

Ответ: $-\sqrt{5}, -1, 1, \sqrt{5}$.

б) $x^5 - x^4 - 2x^3 + 2x^2 - 3x + 3 = 0$

Применим метод группировки слагаемых:

$(x^5 - x^4) - (2x^3 - 2x^2) - (3x - 3) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы, обращая внимание на знаки:

$x^4(x - 1) - 2x^2(x - 1) - 3(x - 1) = 0$

Вынесем общий множитель $(x - 1)$ за скобки:

$(x - 1)(x^4 - 2x^2 - 3) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

1) $x - 1 = 0$

$x_1 = 1$

2) $x^4 - 2x^2 - 3 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $y = x^2$ ($y \ge 0$):

$y^2 - 2y - 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 = 4^2$

Найдем корни для $y$:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 4}{2} = 3$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 4}{2} = -1$

Корень $y_2 = -1$ не удовлетворяет условию $y \ge 0$, поэтому он является посторонним. Рассматриваем только $y_1 = 3$.

Выполним обратную замену:

$x^2 = 3 \implies x = \pm\sqrt{3} \implies x_2 = \sqrt{3}, x_3 = -\sqrt{3}$.

Таким образом, действительными корнями исходного уравнения являются $1, \sqrt{3}, -\sqrt{3}$.

Ответ: $-\sqrt{3}, 1, \sqrt{3}$.