Номер 280, страница 81 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

280. Найдите координаты точек пересечения с осями координат графика функции:

а) $y = x^4 - 5x^2 + 4;$

б) $y = x^4 + 3x^2 - 10;$

в) $y = x^4 - 20x^2 + 100;$

г) $y = 4x^4 + 16x^2.$

а) $y = x^4 - 5x^2 + 4$

1. Найдём точку пересечения с осью ординат (осью $Oy$). Для этого подставим $x=0$ в уравнение функции:
$y = 0^4 - 5 \cdot 0^2 + 4 = 4$.
Координаты точки пересечения с осью $Oy$: $(0; 4)$.

2. Найдём точки пересечения с осью абсцисс (осью $Ox$). Для этого приравняем $y$ к нулю:
$x^4 - 5x^2 + 4 = 0$.
Это биквадратное уравнение. Сделаем замену: пусть $t = x^2$, где $t \ge 0$.
Уравнение примет вид: $t^2 - 5t + 4 = 0$.
Решим это квадратное уравнение по теореме Виета:
$t_1 + t_2 = 5$
$t_1 \cdot t_2 = 4$
Отсюда $t_1 = 1$, $t_2 = 4$. Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$.
Вернемся к переменной $x$:
При $t=1$: $x^2 = 1 \implies x_1 = -1, x_2 = 1$.
При $t=4$: $x^2 = 4 \implies x_3 = -2, x_4 = 2$.
Координаты точек пересечения с осью $Ox$: $(-2; 0)$, $(-1; 0)$, $(1; 0)$, $(2; 0)$.

Ответ: пересечение с осью $Oy$ в точке $(0; 4)$; пересечение с осью $Ox$ в точках $(-2; 0)$, $(-1; 0)$, $(1; 0)$, $(2; 0)$.

б) $y = x^4 + 3x^2 - 10$

1. Найдём точку пересечения с осью $Oy$ (при $x=0$):
$y = 0^4 + 3 \cdot 0^2 - 10 = -10$.
Координаты точки пересечения с осью $Oy$: $(0; -10)$.

2. Найдём точки пересечения с осью $Ox$ (при $y=0$):
$x^4 + 3x^2 - 10 = 0$.
Замена: $t = x^2$, где $t \ge 0$.
$t^2 + 3t - 10 = 0$.
Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$.
$t = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm 7}{2}$.
$t_1 = \frac{-3 + 7}{2} = 2$.
$t_2 = \frac{-3 - 7}{2} = -5$.
Корень $t_2 = -5$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$.
Возвращаемся к переменной $x$ с корнем $t_1 = 2$:
$x^2 = 2 \implies x = \pm\sqrt{2}$.
Координаты точек пересечения с осью $Ox$: $(-\sqrt{2}; 0)$, $(\sqrt{2}; 0)$.

Ответ: пересечение с осью $Oy$ в точке $(0; -10)$; пересечение с осью $Ox$ в точках $(-\sqrt{2}; 0)$, $(\sqrt{2}; 0)$.

в) $y = x^4 - 20x^2 + 100$

1. Найдём точку пересечения с осью $Oy$ (при $x=0$):
$y = 0^4 - 20 \cdot 0^2 + 100 = 100$.
Координаты точки пересечения с осью $Oy$: $(0; 100)$.

2. Найдём точки пересечения с осью $Ox$ (при $y=0$):
$x^4 - 20x^2 + 100 = 0$.
Заметим, что левая часть является полным квадратом:
$(x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 10 + 10^2 = 0$
$(x^2 - 10)^2 = 0$.
Отсюда $x^2 - 10 = 0 \implies x^2 = 10$.
$x = \pm\sqrt{10}$.
Координаты точек пересечения с осью $Ox$: $(-\sqrt{10}; 0)$, $(\sqrt{10}; 0)$.

Ответ: пересечение с осью $Oy$ в точке $(0; 100)$; пересечение с осью $Ox$ в точках $(-\sqrt{10}; 0)$, $(\sqrt{10}; 0)$.

г) $y = 4x^4 + 16x^2$

1. Найдём точку пересечения с осью $Oy$ (при $x=0$):
$y = 4 \cdot 0^4 + 16 \cdot 0^2 = 0$.
Координаты точки пересечения с осью $Oy$: $(0; 0)$. Эта точка также является точкой пересечения с осью $Ox$, так как это начало координат.

2. Найдём точки пересечения с осью $Ox$ (при $y=0$):
$4x^4 + 16x^2 = 0$.
Вынесем общий множитель $4x^2$ за скобки:
$4x^2(x^2 + 4) = 0$.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
1) $4x^2 = 0 \implies x = 0$.
2) $x^2 + 4 = 0 \implies x^2 = -4$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.
Таким образом, единственная точка пересечения с осью $Ox$ — это точка с координатой $x=0$. Координаты точки: $(0; 0)$.

Ответ: график функции пересекает оси координат в единственной точке - начале координат $(0; 0)$.