Номер 279, страница 80 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

279. Найдите корни биквадратного уравнения:

а) $x^4 - 25x^2 + 144 = 0;$

б) $y^4 + 14y^2 + 48 = 0;$

в) $x^4 - 4x^2 + 4 = 0;$

г) $t^4 - 2t^2 - 3 = 0;$

д) $2x^4 - 9x^2 + 4 = 0;$

е) $5y^4 - 5y^2 + 2 = 0.$

а) $x^4 - 25x^2 + 144 = 0$
Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной: пусть $y = x^2$. Так как $x^2$ не может быть отрицательным, то $y \ge 0$.
Уравнение примет вид квадратного: $y^2 - 25y + 144 = 0$.
Решим это уравнение относительно $y$ с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = (-25)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 144 = 625 - 576 = 49$.
Корни уравнения для $y$: $y_{1,2} = \frac{-(-25) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{25 \pm 7}{2}$.
$y_1 = \frac{25 + 7}{2} = 16$.
$y_2 = \frac{25 - 7}{2} = 9$.
Оба корня ($16$ и $9$) положительны, поэтому они удовлетворяют условию $y \ge 0$. Вернемся к исходной переменной $x$, выполнив обратную замену:
1) $x^2 = 16 \implies x_{1,2} = \pm\sqrt{16} = \pm 4$.
2) $x^2 = 9 \implies x_{3,4} = \pm\sqrt{9} = \pm 3$.
Ответ: $\pm 3; \pm 4$.

б) $y^4 + 14y^2 + 48 = 0$
Сделаем замену переменной: пусть $z = y^2$ ($z \ge 0$).
Получим квадратное уравнение: $z^2 + 14z + 48 = 0$.
Найдем его корни через дискриминант: $D = 14^2 - 4 \cdot 1 \cdot 48 = 196 - 192 = 4$.
$z_{1,2} = \frac{-14 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{-14 \pm 2}{2}$.
$z_1 = \frac{-14 + 2}{2} = -6$.
$z_2 = \frac{-14 - 2}{2} = -8$.
Оба корня для $z$ отрицательны, что не удовлетворяет условию $z \ge 0$. Следовательно, у исходного уравнения нет действительных корней.
Ответ: корней нет.

в) $x^4 - 4x^2 + 4 = 0$
Сделаем замену $y = x^2$ ($y \ge 0$). Уравнение примет вид: $y^2 - 4y + 4 = 0$.
Левая часть уравнения является полным квадратом: $(y - 2)^2 = 0$.
Отсюда $y - 2 = 0$, то есть $y = 2$.
Этот корень удовлетворяет условию $y \ge 0$.
Выполним обратную замену: $x^2 = 2 \implies x = \pm\sqrt{2}$.
Ответ: $\pm\sqrt{2}$.

г) $t^4 - 2t^2 - 3 = 0$
Сделаем замену $z = t^2$ ($z \ge 0$). Получим квадратное уравнение: $z^2 - 2z - 3 = 0$.
Найдем его корни по теореме Виета: $z_1 + z_2 = 2$, $z_1 \cdot z_2 = -3$. Корнями являются $z_1 = 3$ и $z_2 = -1$.
Корень $z_2 = -1$ не удовлетворяет условию $z \ge 0$, поэтому мы его отбрасываем.
Остается один подходящий корень $z = 3$.
Выполним обратную замену: $t^2 = 3 \implies t = \pm\sqrt{3}$.
Ответ: $\pm\sqrt{3}$.

д) $2x^4 - 9x^2 + 4 = 0$
Сделаем замену $y = x^2$ ($y \ge 0$). Получим квадратное уравнение: $2y^2 - 9y + 4 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 81 - 32 = 49$.
$y_{1,2} = \frac{9 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{9 \pm 7}{4}$.
$y_1 = \frac{9 + 7}{4} = \frac{16}{4} = 4$.
$y_2 = \frac{9 - 7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Оба корня положительны, поэтому оба подходят.
Выполним обратную замену:
1) $x^2 = 4 \implies x = \pm\sqrt{4} = \pm 2$.
2) $x^2 = \frac{1}{2} \implies x = \pm\sqrt{\frac{1}{2}} = \pm\frac{1}{\sqrt{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\pm 2; \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$.

е) $5y^4 - 5y^2 + 2 = 0$
Сделаем замену $z = y^2$ ($z \ge 0$). Получим квадратное уравнение: $5z^2 - 5z + 2 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 25 - 40 = -15$.
Так как дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение для $z$ не имеет действительных корней. Следовательно, исходное биквадратное уравнение также не имеет действительных корней.
Ответ: корней нет.