Номер 281, страница 81 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

281. Разложите на множители трёхчлен:

а) $x^4 - 47x^2 - 98;$

б) $x^4 - 85x^2 + 1764.$

а) $x^4 - 47x^2 - 98$

Для разложения данного биквадратного трёхчлена на множители введём замену переменной. Пусть $y = x^2$. Тогда исходное выражение примет вид квадратного трёхчлена относительно $y$:

$y^2 - 47y - 98$

Чтобы разложить этот трёхчлен на множители, найдём его корни, решив квадратное уравнение $y^2 - 47y - 98 = 0$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-47)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-98) = 2209 + 392 = 2601$

Найдём корни уравнения:

$y_1 = \frac{-(-47) + \sqrt{2601}}{2 \cdot 1} = \frac{47 + 51}{2} = \frac{98}{2} = 49$

$y_2 = \frac{-(-47) - \sqrt{2601}}{2 \cdot 1} = \frac{47 - 51}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Теперь мы можем разложить квадратный трёхчлен на множители по формуле $a(y - y_1)(y - y_2)$:

$y^2 - 47y - 98 = (y - 49)(y - (-2)) = (y - 49)(y + 2)$

Вернёмся к исходной переменной $x$, подставив $y = x^2$:

$(x^2 - 49)(x^2 + 2)$

Первый множитель $(x^2 - 49)$ является разностью квадратов и может быть разложен дальше: $x^2 - 49 = x^2 - 7^2 = (x - 7)(x + 7)$.

Второй множитель $(x^2 + 2)$ не раскладывается на множители с действительными коэффициентами.

Таким образом, окончательное разложение на множители имеет вид:

$(x - 7)(x + 7)(x^2 + 2)$

Ответ: $(x - 7)(x + 7)(x^2 + 2)$

б) $x^4 - 85x^2 + 1764$

Это также биквадратный трёхчлен. Сделаем замену $y = x^2$:

$y^2 - 85y + 1764$

Найдём корни соответствующего квадратного уравнения $y^2 - 85y + 1764 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-85)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1764 = 7225 - 7056 = 169$

Найдём корни уравнения:

$y_1 = \frac{-(-85) + \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{85 + 13}{2} = \frac{98}{2} = 49$

$y_2 = \frac{-(-85) - \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{85 - 13}{2} = \frac{72}{2} = 36$

Разложим трёхчлен на множители:

$y^2 - 85y + 1764 = (y - 49)(y - 36)$

Произведём обратную замену $y = x^2$:

$(x^2 - 49)(x^2 - 36)$

Оба множителя являются разностями квадратов:

$x^2 - 49 = x^2 - 7^2 = (x - 7)(x + 7)$

$x^2 - 36 = x^2 - 6^2 = (x - 6)(x + 6)$

Следовательно, окончательное разложение на множители:

$(x - 7)(x + 7)(x - 6)(x + 6)$

Ответ: $(x - 7)(x + 7)(x - 6)(x + 6)$