Страница 71 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

226. Зная, что коэффициенты квадратного трёхчлена $(n-3)x^2 + (n+1)x + 9-2n$ — натуральные числа, найдите этот трёхчлен.

Дан квадратный трёхчлен $(n-3)x^2 + (n+1)x + 9-2n$. Его коэффициенты: $a = n-3$, $b = n+1$, $c = 9-2n$.

По условию задачи, все три коэффициента являются натуральными числами. Натуральные числа — это целые положительные числа $\{1, 2, 3, ...\}$. Следовательно, каждый из коэффициентов должен быть больше или равен 1. Это можно записать в виде системы неравенств:

$$ \begin{cases} n - 3 \ge 1 \\ n + 1 \ge 1 \\ 9 - 2n \ge 1 \end{cases} $$

Решим каждое неравенство относительно $n$:

1. Из первого неравенства $n - 3 \ge 1$ получаем:

$n \ge 1 + 3$

$n \ge 4$

2. Из второго неравенства $n + 1 \ge 1$ получаем:

$n \ge 1 - 1$

$n \ge 0$

Это условие является менее строгим, чем $n \ge 4$, поэтому оно будет автоматически выполнено, если выполняется первое.

3. Из третьего неравенства $9 - 2n \ge 1$ получаем:

$9 - 1 \ge 2n$

$8 \ge 2n$

$4 \ge n$, или $n \le 4$

Теперь объединим полученные результаты. Мы должны найти такое значение $n$, которое одновременно удовлетворяет условиям $n \ge 4$ и $n \le 4$.

$$ \begin{cases} n \ge 4 \\ n \le 4 \end{cases} $$

Единственное целое число $n$, которое удовлетворяет этой системе, — это $n=4$.

Теперь, когда мы нашли значение $n$, подставим его в выражения для коэффициентов, чтобы найти искомый трёхчлен:

• Коэффициент при $x^2$: $a = n - 3 = 4 - 3 = 1$.
• Коэффициент при $x$: $b = n + 1 = 4 + 1 = 5$.
• Свободный член: $c = 9 - 2n = 9 - 2 \cdot 4 = 9 - 8 = 1$.

Все коэффициенты (1, 5, 1) являются натуральными числами, что соответствует условию задачи. Следовательно, искомый квадратный трёхчлен имеет вид: $1 \cdot x^2 + 5x + 1$.

Ответ: $x^2 + 5x + 1$.

227. Сократите дробь:

а) $\frac{2m^2 - 8}{m^2 + 6m + 8}$;

б) $\frac{2m^2 - 5m + 2}{mn - 2n - 3m + 6}$.

а)

Чтобы сократить дробь $\frac{2m^2 - 8}{m^2 + 6m + 8}$, необходимо разложить на множители числитель и знаменатель.

1. Разложим на множители числитель $2m^2 - 8$.

Сначала вынесем общий множитель 2 за скобки: $2(m^2 - 4)$.

Выражение в скобках $m^2 - 4$ является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

$m^2 - 4 = m^2 - 2^2 = (m-2)(m+2)$.

Таким образом, числитель равен $2(m-2)(m+2)$.

2. Разложим на множители знаменатель $m^2 + 6m + 8$.

Это квадратный трехчлен. Чтобы разложить его на множители, найдем корни уравнения $m^2 + 6m + 8 = 0$.

Воспользуемся теоремой Виета. Сумма корней $m_1 + m_2 = -6$, а их произведение $m_1 \cdot m_2 = 8$. Подбором находим корни: $m_1 = -2$ и $m_2 = -4$.

Следовательно, разложение на множители имеет вид $(m - m_1)(m - m_2) = (m - (-2))(m - (-4)) = (m+2)(m+4)$.

3. Подставим разложенные выражения в исходную дробь:

$\frac{2m^2 - 8}{m^2 + 6m + 8} = \frac{2(m-2)(m+2)}{(m+2)(m+4)}$

Сократим общий множитель $(m+2)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{2(m-2)}{m+4}$

Ответ: $\frac{2(m-2)}{m+4}$

б)

Чтобы сократить дробь $\frac{2m^2 - 5m + 2}{mn - 2n - 3m + 6}$, разложим на множители числитель и знаменатель.

1. Разложим на множители числитель $2m^2 - 5m + 2$.

Это квадратный трехчлен. Найдем корни уравнения $2m^2 - 5m + 2 = 0$ с помощью дискриминанта.

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$.

Корни уравнения:

$m_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$.

$m_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Разложение квадратного трехчлена имеет вид $a(m-m_1)(m-m_2)$:

$2(m-2)(m-\frac{1}{2}) = (m-2) \cdot 2(m-\frac{1}{2}) = (m-2)(2m-1)$.

2. Разложим на множители знаменатель $mn - 2n - 3m + 6$.

Применим метод группировки слагаемых:

$(mn - 2n) + (-3m + 6)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$n(m - 2) - 3(m - 2)$

Теперь вынесем общий множитель $(m-2)$ за скобки:

$(m-2)(n-3)$.

3. Подставим разложенные выражения в дробь и выполним сокращение:

$\frac{2m^2 - 5m + 2}{mn - 2n - 3m + 6} = \frac{(m-2)(2m-1)}{(m-2)(n-3)}$

Сократим общий множитель $(m-2)$:

$\frac{2m-1}{n-3}$

Ответ: $\frac{2m-1}{n-3}$

228. Выполните действие:

a) $ \frac{x+4}{x-1} - \frac{37x-12}{4x^2-3x-1} $;

б) $ \frac{x-1}{x+2} - \frac{1-x}{x^2+3x+2} $;

в) $ \frac{7x-x^2}{x+4} \cdot \frac{x^2-x-20}{7-x} $;

г) $ \frac{x^2+11x+30}{3x-15} : \frac{x+5}{x-5} $;

д) $ \frac{2x^2-7}{x^2-3x-4} - \frac{x+1}{x-4} $;

e) $ \frac{2+x-x^2}{2-5x+3x^2} + \frac{10x}{3x-2} $.

а) Чтобы выполнить вычитание дробей $\frac{x+4}{x-1} - \frac{37x-12}{4x^2-3x-1}$, сначала разложим знаменатель второй дроби на множители. Для этого найдем корни квадратного уравнения $4x^2-3x-1=0$. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 9 + 16 = 25$. Корни уравнения: $x_1 = \frac{3+\sqrt{25}}{2 \cdot 4} = \frac{3+5}{8}=1$ и $x_2 = \frac{3-5}{8}=-\frac{1}{4}$. Тогда знаменатель раскладывается на множители: $4x^2-3x-1 = 4(x-1)(x+\frac{1}{4}) = (x-1)(4x+1)$.Выражение принимает вид: $\frac{x+4}{x-1} - \frac{37x-12}{(x-1)(4x+1)}$.Приведем дроби к общему знаменателю $(x-1)(4x+1)$:$\frac{(x+4)(4x+1)}{(x-1)(4x+1)} - \frac{37x-12}{(x-1)(4x+1)} = \frac{(x+4)(4x+1) - (37x-12)}{(x-1)(4x+1)}$.Раскроем скобки и упростим числитель:$\frac{4x^2+x+16x+4 - 37x+12}{(x-1)(4x+1)} = \frac{4x^2-20x+16}{(x-1)(4x+1)}$.Разложим числитель на множители, вынеся общий множитель 4: $4(x^2-5x+4) = 4(x-1)(x-4)$.Получаем дробь: $\frac{4(x-1)(x-4)}{(x-1)(4x+1)}$.Сократим общий множитель $(x-1)$: $\frac{4(x-4)}{4x+1}$.
Ответ: $\frac{4(x-4)}{4x+1}$.

б) Рассмотрим выражение $\frac{x-1}{x+2} - \frac{1-x}{x^2+3x+2}$. Разложим на множители знаменатель второй дроби: $x^2+3x+2=(x+1)(x+2)$. Заметим, что числитель второй дроби $1-x=-(x-1)$. Тогда выражение можно переписать:$\frac{x-1}{x+2} - \frac{-(x-1)}{(x+1)(x+2)} = \frac{x-1}{x+2} + \frac{x-1}{(x+1)(x+2)}$.Общий знаменатель равен $(x+1)(x+2)$. Приведем дроби к нему:$\frac{(x-1)(x+1)}{(x+1)(x+2)} + \frac{x-1}{(x+1)(x+2)} = \frac{(x-1)(x+1) + (x-1)}{(x+1)(x+2)}$.Вынесем в числителе общий множитель $(x-1)$ за скобки:$\frac{(x-1)((x+1)+1)}{(x+1)(x+2)} = \frac{(x-1)(x+2)}{(x+1)(x+2)}$.Сократим на $(x+2)$: $\frac{x-1}{x+1}$.
Ответ: $\frac{x-1}{x+1}$.

в) Чтобы выполнить умножение $\frac{7x-x^2}{x+4} \cdot \frac{x^2-x-20}{7-x}$, разложим числители и знаменатели на множители.$7x-x^2 = x(7-x)$.$x^2-x-20 = (x-5)(x+4)$ (по теореме Виета, корни 5 и -4).Подставим разложенные выражения в исходное:$\frac{x(7-x)}{x+4} \cdot \frac{(x-5)(x+4)}{7-x}$.Запишем под общей чертой и сократим общие множители $(x+4)$ и $(7-x)$:$\frac{x(7-x)(x-5)(x+4)}{(x+4)(7-x)} = x(x-5)$.
Ответ: $x(x-5)$.

г) Чтобы выполнить деление $\frac{x^2+11x+30}{3x-15} : \frac{x+5}{x-5}$, заменим его умножением на обратную дробь:$\frac{x^2+11x+30}{3x-15} \cdot \frac{x-5}{x+5}$.Разложим на множители числитель и знаменатель первой дроби:$x^2+11x+30 = (x+5)(x+6)$ (по теореме Виета, корни -5 и -6).$3x-15 = 3(x-5)$.Подставим в выражение:$\frac{(x+5)(x+6)}{3(x-5)} \cdot \frac{x-5}{x+5}$.Запишем под общей чертой и сократим общие множители $(x+5)$ и $(x-5)$:$\frac{(x+5)(x+6)(x-5)}{3(x-5)(x+5)} = \frac{x+6}{3}$.
Ответ: $\frac{x+6}{3}$.

д) Рассмотрим выражение $\frac{2x^2-7}{x^2-3x-4} - \frac{x+1}{x-4}$. Разложим на множители знаменатель первой дроби: $x^2-3x-4 = (x-4)(x+1)$ (по теореме Виета, корни 4 и -1).Выражение принимает вид: $\frac{2x^2-7}{(x-4)(x+1)} - \frac{x+1}{x-4}$.Общий знаменатель $(x-4)(x+1)$. Приводим дроби к нему:$\frac{2x^2-7}{(x-4)(x+1)} - \frac{(x+1)(x+1)}{(x-4)(x+1)} = \frac{2x^2-7 - (x+1)^2}{(x-4)(x+1)}$.Раскроем скобки и упростим числитель:$\frac{2x^2-7 - (x^2+2x+1)}{(x-4)(x+1)} = \frac{2x^2-7-x^2-2x-1}{(x-4)(x+1)} = \frac{x^2-2x-8}{(x-4)(x+1)}$.Разложим получившийся числитель на множители: $x^2-2x-8 = (x-4)(x+2)$ (по теореме Виета, корни 4 и -2).Получаем дробь: $\frac{(x-4)(x+2)}{(x-4)(x+1)}$.Сократим на $(x-4)$: $\frac{x+2}{x+1}$.
Ответ: $\frac{x+2}{x+1}$.

е) Рассмотрим выражение $\frac{2+x-x^2}{2-5x+3x^2} + \frac{10x}{3x-2}$. Разложим на множители числитель и знаменатель первой дроби.Числитель: $2+x-x^2 = -(x^2-x-2) = -(x-2)(x+1) = (2-x)(x+1)$.Знаменатель: $3x^2-5x+2$. Найдем корни уравнения $3x^2-5x+2=0$. $D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1$. Корни $x_1 = \frac{5+1}{6}=1$, $x_2=\frac{5-1}{6}=\frac{2}{3}$. Значит, $3x^2-5x+2 = 3(x-1)(x-\frac{2}{3}) = (x-1)(3x-2)$.Выражение принимает вид: $\frac{(2-x)(x+1)}{(x-1)(3x-2)} + \frac{10x}{3x-2}$.Заметим, что $2-x = -(x-2)$. Перепишем: $\frac{-(x-2)(x+1)}{(x-1)(3x-2)} + \frac{10x}{3x-2}$.Общий знаменатель $(x-1)(3x-2)$. Приведем к нему вторую дробь:$\frac{-(x-2)(x+1)}{(x-1)(3x-2)} + \frac{10x(x-1)}{(x-1)(3x-2)} = \frac{-(x^2-x-2) + 10x^2-10x}{(x-1)(3x-2)}$.Упростим числитель: $\frac{-x^2+x+2 + 10x^2-10x}{(x-1)(3x-2)} = \frac{9x^2-9x+2}{(x-1)(3x-2)}$.Разложим на множители числитель $9x^2-9x+2$. Корни уравнения $9x^2-9x+2=0$: $D = (-9)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 2 = 81-72=9$. Корни $x_1 = \frac{9+3}{18}=\frac{2}{3}$, $x_2=\frac{9-3}{18}=\frac{1}{3}$. Значит, $9x^2-9x+2=9(x-\frac{2}{3})(x-\frac{1}{3}) = (3x-2)(3x-1)$.Получаем дробь: $\frac{(3x-2)(3x-1)}{(x-1)(3x-2)}$.Сократим на $(3x-2)$: $\frac{3x-1}{x-1}$.
Ответ: $\frac{3x-1}{x-1}$.

229. При каком значении a график функции $y = ax^2$ проходит через точку:

а) $(5; -7)$;

б) $(-\sqrt{3}; 9)$;

в) $(-\frac{1}{2}; -\frac{1}{2})$;

г) $(100; 10)?$

Для того чтобы график функции $y = ax^2$ проходил через определенную точку, координаты этой точки $(x_0; y_0)$ должны удовлетворять уравнению функции. Это значит, что если подставить значения $x_0$ и $y_0$ в уравнение, оно должно превратиться в верное равенство: $y_0 = a \cdot (x_0)^2$. Из этого равенства мы можем найти неизвестный коэффициент $a$, разделив $y_0$ на $(x_0)^2$.

а) Дана точка с координатами $(5; -7)$.
Здесь $x = 5$ и $y = -7$. Подставим эти значения в уравнение функции $y = ax^2$:
$-7 = a \cdot 5^2$
$-7 = a \cdot 25$
Выразим $a$ из этого уравнения:
$a = \frac{-7}{25}$
$a = -0.28$
Ответ: $a = -0.28$.

б) Дана точка с координатами $(-\sqrt{3}; 9)$.
Здесь $x = -\sqrt{3}$ и $y = 9$. Подставим значения в уравнение:
$9 = a \cdot (-\sqrt{3})^2$
Так как $(-\sqrt{3})^2 = 3$, получаем:
$9 = a \cdot 3$
Выразим $a$:
$a = \frac{9}{3}$
$a = 3$
Ответ: $a = 3$.

в) Дана точка с координатами $(-\frac{1}{2}; -\frac{1}{2})$.
Здесь $x = -\frac{1}{2}$ и $y = -\frac{1}{2}$. Подставим значения в уравнение:
$-\frac{1}{2} = a \cdot (-\frac{1}{2})^2$
Так как $(-\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$, получаем:
$-\frac{1}{2} = a \cdot \frac{1}{4}$
Чтобы найти $a$, умножим обе части уравнения на 4:
$a = -\frac{1}{2} \cdot 4$
$a = -2$
Ответ: $a = -2$.

г) Дана точка с координатами $(100; 10)$.
Здесь $x = 100$ и $y = 10$. Подставим значения в уравнение:
$10 = a \cdot 100^2$
$10 = a \cdot 10000$
Выразим $a$:
$a = \frac{10}{10000}$
$a = \frac{1}{1000}$
$a = 0.001$
Ответ: $a = 0.001$.

230. Постройте график функции, заданной формулой $y = -0,25x^2$, где $x \in [-6; 2]$. Каковы наибольшее и наименьшее значения этой функции?

Постройте график функции, заданной формулой y = -0,25x², где x ∈ [-6; 2]

Данная функция $y = -0,25x^2$ является квадратичной, её график — парабола.

• Поскольку коэффициент при $x^2$ отрицательный ($a = -0,25 < 0$), ветви параболы направлены вниз.
• Вершина параболы для функции вида $y=ax^2$ находится в начале координат, то есть в точке $(0; 0)$.

Для построения графика на заданном отрезке $x \in [-6; 2]$ составим таблицу значений. Вычислим значения функции $y$ для нескольких значений $x$ из этого отрезка, включая его концы.

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавной линией, мы получим искомый график. Он представляет собой дугу параболы с концами в точках $(-6; -9)$ и $(2; -1)$.

Ответ: График функции на отрезке $[-6; 2]$ — это часть параболы с вершиной в точке $(0; 0)$, ветвями, направленными вниз, и ограниченная точками $(-6; -9)$ и $(2; -1)$.

Каковы наибольшее и наименьшее значения этой функции

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке, нужно исследовать её поведение на этом отрезке.

Наибольшее значение:
Функция $y = -0,25x^2$ — это парабола с ветвями вниз. Её самая высокая точка — вершина, которая находится при $x=0$. Так как значение $x=0$ входит в заданный отрезок $[-6; 2]$, то наибольшее значение функции на этом отрезке будет достигаться именно в вершине.

$y_{наибольшее} = y(0) = -0,25 \cdot 0^2 = 0$.

Наименьшее значение:
Так как вершина является точкой максимума, наименьшее значение будет достигаться на одном из концов отрезка. Необходимо сравнить значения функции в точках $x=-6$ и $x=2$.

$y(-6) = -0,25 \cdot (-6)^2 = -9$.
$y(2) = -0,25 \cdot 2^2 = -1$.

Сравнивая полученные значения ($0$, $-1$ и $-9$), мы видим, что наименьшее из них — это $-9$.

Ответ: Наибольшее значение функции на отрезке $[-6; 2]$ равно 0, а наименьшее значение равно -9.

231. При каких значениях $a$ областью значений функции $y = ax^2$ является промежуток:

а) $[0; +\infty)$;

б) $(-\infty; 0]$?

Функция $y = ax^2$ является квадратичной, её график — парабола с вершиной в начале координат $(0, 0)$. Область значений (множество всех возможных значений $y$) определяется знаком коэффициента $a$.

Выражение $x^2$ для любого действительного значения $x$ является неотрицательным, то есть $x^2 \ge 0$.

а) Требуется найти значения $a$, при которых областью значений функции $y = ax^2$ является промежуток $[0; +\infty)$.

Это означает, что все значения функции должны быть неотрицательными: $y \ge 0$.
Поскольку $y = ax^2$ и $x^2 \ge 0$, для того чтобы произведение $ax^2$ было неотрицательным, коэффициент $a$ должен быть положительным.
Если $a > 0$, то ветви параболы направлены вверх. Минимальное значение функции достигается в ее вершине $(0, 0)$ и равно $y=0$. При увеличении $|x|$ значения $y$ неограниченно возрастают. Таким образом, область значений — это $[0; +\infty)$.
Если $a=0$, то функция принимает вид $y=0$. В этом случае область значений состоит из одного числа $\{0\}$, что не является промежутком $[0; +\infty)$.
Следовательно, условие выполняется только при $a > 0$.
Ответ: $a > 0$.

б) Требуется найти значения $a$, при которых областью значений функции $y = ax^2$ является промежуток $(-\infty; 0]$.

Это означает, что все значения функции должны быть неположительными: $y \le 0$.
Поскольку $y = ax^2$ и $x^2 \ge 0$, для того чтобы произведение $ax^2$ было неположительным, коэффициент $a$ должен быть отрицательным.
Если $a < 0$, то ветви параболы направлены вниз. Максимальное значение функции достигается в ее вершине $(0, 0)$ и равно $y=0$. При увеличении $|x|$ значения $y$ неограниченно убывают. Таким образом, область значений — это $(-\infty; 0]$.
Если $a=0$, то, как и в предыдущем пункте, область значений — это $\{0\}$, что не является промежутком $(-\infty; 0]$.
Следовательно, условие выполняется только при $a < 0$.
Ответ: $a < 0$.

232. Докажите, что графики функций $y = ax^2$ и $y = ax$, где $a \neq 0$, пересекаются в точке $(1; a)$. В какой ещё точке пересекаются эти графики?

Докажите, что графики функций $y = ax^2$ и $y = ax$, где $a \neq 0$, пересекаются в точке $(1; a)$

Чтобы доказать, что графики функций пересекаются в указанной точке, нужно показать, что координаты этой точки удовлетворяют обоим уравнениям функций.

1. Проверим, принадлежит ли точка $(1; a)$ графику функции $y = ax^2$. Для этого подставим $x = 1$ и $y = a$ в уравнение:

$a = a \cdot (1)^2$

$a = a \cdot 1$

$a = a$

Равенство верное, значит, точка $(1; a)$ принадлежит графику функции $y = ax^2$.

2. Проверим, принадлежит ли точка $(1; a)$ графику функции $y = ax$. Для этого подставим $x = 1$ и $y = a$ в уравнение:

$a = a \cdot 1$

$a = a$

Равенство также верное, значит, точка $(1; a)$ принадлежит графику функции $y = ax$.

Так как координаты точки $(1; a)$ удовлетворяют обоим уравнениям, эта точка является точкой пересечения их графиков.

Ответ: Координаты точки $(1; a)$ удовлетворяют обоим уравнениям, что доказывает факт пересечения графиков в этой точке.

В какой ещё точке пересекаются эти графики?

Чтобы найти все точки пересечения графиков, необходимо решить систему уравнений, состоящую из уравнений этих функций. Для этого приравняем правые части уравнений:

$ax^2 = ax$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$ax^2 - ax = 0$

Вынесем общий множитель $ax$ за скобки:

$ax(x - 1) = 0$

По условию задачи $a \neq 0$. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю. Следовательно, мы имеем два случая:

1) $x = 0$

2) $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$

Значение $x = 1$ соответствует точке $(1; a)$, которая была дана в условии. Чтобы найти вторую точку пересечения, найдем соответствующее значение $y$ для $x = 0$. Подставим $x=0$ в любое из исходных уравнений, например, в $y = ax$:

$y = a \cdot 0 = 0$

Таким образом, вторая точка пересечения имеет координаты $(0; 0)$.

Ответ: $(0; 0)$.

233. Параболу $y = 7x^2$ сдвинули вверх на 5 единиц и влево на 8 единиц. Графиком какой функции является полученная парабола?

Для нахождения уравнения искомой параболы воспользуемся правилами преобразования графиков функций. Исходная функция задана уравнением $y = 7x^2$. Вершина этой параболы находится в начале координат, в точке $(0, 0)$.

Преобразование графика функции $y = f(x)$ в $y = a \cdot f(x - x_0) + y_0$ соответствует его растяжению/сжатию и сдвигу. В нашем случае, общий вид уравнения параболы после сдвига будет $y = 7(x - x_0)^2 + y_0$, где $(x_0, y_0)$ — координаты новой вершины.

1. Сдвиг влево на 8 единиц
Сдвиг графика функции вдоль оси абсцисс (горизонтальный сдвиг) влево на $h$ единиц описывается заменой переменной $x$ на $(x+h)$. В данном случае, сдвиг происходит влево на 8 единиц, поэтому $h=8$. Координата $x_0$ новой вершины будет равна $0 - 8 = -8$.
Применяем это преобразование к исходной функции:
$y = 7(x - (-8))^2 = 7(x+8)^2$

2. Сдвиг вверх на 5 единиц
Сдвиг графика функции вдоль оси ординат (вертикальный сдвиг) вверх на $k$ единиц описывается прибавлением константы $k$ ко всей функции. В данном случае, сдвиг происходит вверх на 5 единиц, поэтому $k=5$. Координата $y_0$ новой вершины будет равна $0 + 5 = 5$.
Применяем это преобразование к функции, полученной на предыдущем шаге:
$y = 7(x+8)^2 + 5$

Таким образом, парабола $y=7x^2$, сдвинутая вверх на 5 единиц и влево на 8 единиц, является графиком функции $y = 7(x+8)^2 + 5$. Новая вершина параболы находится в точке $(-8, 5)$.

Ответ: $y = 7(x+8)^2 + 5$

234. Какие преобразования надо выполнить, чтобы:

а) из графика функции $y = x^3$ получить графики функций $y = -x^3$, $y = (x - 3)^3$, $y = x^3 + 4;

б) из графика функции $y = \sqrt{x}$ получить графики функций $y = -\sqrt{x}$, $y = \sqrt{x + 5}$, $y = \sqrt{x} - 1?

Чтобы получить график функции $y = -x^3$ из графика $y = x^3$, необходимо выполнить симметричное отражение графика $y = x^3$ относительно оси абсцисс (оси Ox). Это преобразование вида $y=f(x) \to y=-f(x)$.

Чтобы получить график функции $y = (x - 3)^3$ из графика $y = x^3$, необходимо выполнить параллельный перенос (сдвиг) графика $y = x^3$ на 3 единицы вправо вдоль оси абсцисс. Это преобразование вида $y=f(x) \to y=f(x-a)$ при $a=3$.

Чтобы получить график функции $y = x^3 + 4$ из графика $y = x^3$, необходимо выполнить параллельный перенос (сдвиг) графика $y = x^3$ на 4 единицы вверх вдоль оси ординат. Это преобразование вида $y=f(x) \to y=f(x)+b$ при $b=4$.

Ответ: для $y = -x^3$ — симметричное отражение относительно оси Ox; для $y = (x-3)^3$ — сдвиг на 3 единицы вправо; для $y = x^3+4$ — сдвиг на 4 единицы вверх.

Чтобы получить график функции $y = -\sqrt{x}$ из графика $y = \sqrt{x}$, необходимо выполнить симметричное отражение графика $y = \sqrt{x}$ относительно оси абсцисс (оси Ox). Это преобразование вида $y=f(x) \to y=-f(x)$.

Чтобы получить график функции $y = \sqrt{x+5}$ из графика $y = \sqrt{x}$, необходимо выполнить параллельный перенос (сдвиг) графика $y = \sqrt{x}$ на 5 единиц влево вдоль оси абсцисс. Это преобразование вида $y=f(x) \to y=f(x+a)$ при $a=5$.

Чтобы получить график функции $y = \sqrt{x} - 1$ из графика $y = \sqrt{x}$, необходимо выполнить параллельный перенос (сдвиг) графика $y = \sqrt{x}$ на 1 единицу вниз вдоль оси ординат. Это преобразование вида $y=f(x) \to y=f(x)-b$ при $b=1$.

Ответ: для $y = -\sqrt{x}$ — симметричное отражение относительно оси Ox; для $y = \sqrt{x+5}$ — сдвиг на 5 единиц влево; для $y = \sqrt{x}-1$ — сдвиг на 1 единицу вниз.

235. Постройте в одной координатной плоскости графики функций $y = |x|$, $y = |x - 4|$, $y = |x - 4| - 3$.

Для построения графиков данных функций мы будем использовать метод геометрических преобразований, отталкиваясь от графика базовой функции $y = |x|$.

y = |x|
Это график основной функции модуля. Он состоит из двух частей:
1. Прямой $y = x$ для всех неотрицательных значений $x$ ($x \ge 0$). Эта прямая является биссектрисой первого координатного угла.
2. Прямой $y = -x$ для всех отрицательных значений $x$ ($x < 0$). Эта прямая является биссектрисой второго координатного угла.
График представляет собой "галочку", вершина которой находится в начале координат, в точке $(0, 0)$. Для построения можно взять несколько контрольных точек, например: $(-2, 2)$, $(-1, 1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(2, 2)$.
Ответ: График функции $y = |x|$ — это "галочка" с вершиной в точке $(0, 0)$, ветви которой направлены вверх.

y = |x - 4|
График этой функции можно получить из графика функции $y = |x|$ с помощью преобразования $f(x) \to f(x-a)$. Такое преобразование соответствует параллельному переносу (сдвигу) графика функции $y=f(x)$ на $a$ единиц вдоль оси абсцисс (Ox). В нашем случае $a=4$, что означает сдвиг графика $y = |x|$ на 4 единицы вправо.
При этом сдвиге вершина графика перемещается из точки $(0, 0)$ в точку $(4, 0)$. Ветви графика остаются направленными вверх.
Ответ: График функции $y = |x - 4|$ — это "галочка" с вершиной в точке $(4, 0)$, полученная сдвигом графика $y = |x|$ на 4 единицы вправо.

y = |x - 4| - 3
График этой функции можно получить из графика предыдущей функции $y = |x - 4|$ с помощью преобразования $f(x) \to f(x)+b$. Такое преобразование соответствует параллельному переносу графика функции $y=f(x)$ на $b$ единиц вдоль оси ординат (Oy). В нашем случае $b=-3$, что означает сдвиг графика $y = |x - 4|$ на 3 единицы вниз.
При этом сдвиге вершина графика перемещается из точки $(4, 0)$ в точку $(4, -3)$. Ветви графика по-прежнему направлены вверх. Для более точного построения можно найти точки пересечения с осями. Например, пересечение с осью Oy происходит при $x=0$: $y = |0-4|-3 = 4-3=1$, то есть в точке $(0, 1)$.
Ответ: График функции $y = |x - 4| - 3$ — это "галочка" с вершиной в точке $(4, -3)$, полученная сдвигом графика $y = |x - 4|$ на 3 единицы вниз.

236. Постройте график функции:

а) $f(x) = |x^2 - 2x|$;

б) $f(x) = x^2 - 2|x|$.

а) $f(x) = |x^2 - 2x|$

Для построения графика функции $f(x) = |x^2 - 2x|$ используется следующий алгоритм:

1. Сначала строится график функции, стоящей под знаком модуля, то есть $g(x) = x^2 - 2x$.

Это квадратичная функция, её график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ положителен (равен 1), ветви параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$.

$y_0 = g(1) = 1^2 - 2 \cdot 1 = 1 - 2 = -1$.

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(1, -1)$.

Найдем точки пересечения параболы с осью абсцисс (нули функции), решив уравнение $x^2 - 2x = 0$:

$x(x - 2) = 0$.

Отсюда получаем $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$. Точки пересечения с осью Ox: $(0, 0)$ и $(2, 0)$.

2. Теперь применим операцию взятия модуля ко всей функции. График функции $y = |g(x)|$ получается из графика $y = g(x)$ следующим образом:

• Часть графика $g(x)$, которая находится выше или на оси Ox (где $g(x) \ge 0$), остается без изменений. Это происходит при $x \in (-\infty, 0] \cup [2, \infty)$.
• Часть графика $g(x)$, которая находится ниже оси Ox (где $g(x) < 0$), симметрично отражается относительно оси Ox. Это происходит на интервале $x \in (0, 2)$.

Таким образом, участок параболы между точками $(0, 0)$ и $(2, 0)$, включая вершину $(1, -1)$, отражается вверх. Новой вершиной этого участка станет точка $(1, 1)$.

Итоговый график будет полностью расположен в верхней полуплоскости ($f(x) \ge 0$).

Ответ: График функции представляет собой параболу $y = x^2 - 2x$, часть которой, лежащая ниже оси абсцисс на интервале $(0, 2)$, симметрично отражена относительно этой оси.

б) $f(x) = x^2 - 2|x|$

Для построения графика этой функции можно заметить, что она является четной, так как $f(-x) = (-x)^2 - 2|-x| = x^2 - 2|x| = f(x)$. Это означает, что её график симметричен относительно оси ординат (оси Oy).

Поэтому достаточно построить график для $x \ge 0$ и затем отразить его симметрично относительно оси Oy.

1. Рассмотрим функцию при $x \ge 0$.

При $x \ge 0$, по определению модуля, $|x| = x$. Функция принимает вид:

$f(x) = x^2 - 2x$.

Это та же парабола, что и в пункте а), с ветвями вверх, вершиной в точке $(1, -1)$ и пересечениями с осью Ox в точках $x=0$ и $x=2$.

Мы строим эту параболу только для $x \ge 0$. График начинается в точке $(0,0)$, опускается до своей вершины $(1,-1)$, а затем поднимается вверх, проходя через точку $(2,0)$.

2. Построение полного графика.

Теперь, используя свойство четности, отражаем построенную для $x \ge 0$ часть графика симметрично относительно оси Oy.

• Точка $(0,0)$ останется на месте, так как она лежит на оси симметрии.
• Вершина $(1, -1)$ отразится в точку $(-1, -1)$.
• Точка пересечения $(2, 0)$ отразится в точку $(-2, 0)$.

Можно также рассмотреть случай $x < 0$ напрямую. При $x < 0$, $|x| = -x$, и функция имеет вид $f(x) = x^2 - 2(-x) = x^2 + 2x$. Это парабола с ветвями вверх, вершина которой находится в точке $x_0 = -2/(2 \cdot 1) = -1$, $y_0 = (-1)^2 + 2(-1) = -1$. Вершина — $(-1, -1)$. Эта часть графика строится для $x < 0$.

Соединив обе части, мы получим итоговый график, который напоминает букву "W".

Ответ: График функции симметричен относительно оси ординат. Для $x \ge 0$ он совпадает с графиком параболы $y = x^2 - 2x$, а для $x < 0$ — с графиком параболы $y = x^2 + 2x$.