Страница 86 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

297. (Для работы в парах.) Решите уравнение, используя введение новой переменной:

а) $\frac{12}{x^2 - 2x + 3} = x^2 - 2x - 1;$

б) $\frac{12}{x^2 + x - 10} - \frac{6}{x^2 + x - 6} = \frac{5}{x^2 + x - 11};$

в) $\frac{16}{x^2 - 2x} - \frac{11}{x^2 - 2x + 3} = \frac{9}{x^2 - 2x + 1}.$

1) Выполните совместно задание а).

2) Распределите, кто выполняет задание б), а кто — задание в), и выполните их.

3) Проверьте друг у друга, правильно ли решены уравнения, и исправьте ошибки, если они допущены.

а) Решим уравнение $ \frac{12}{x^2 - 2x + 3} = x^2 - 2x - 1 $.

Заметим, что в обеих частях уравнения присутствует выражение $ x^2 - 2x $. Введем новую переменную для упрощения уравнения. Пусть $ t = x^2 - 2x $. Тогда уравнение примет вид: $ \frac{12}{t + 3} = t - 1 $.

Область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $t$ определяется знаменателем: $ t + 3 \neq 0 $, откуда $ t \neq -3 $. Что касается исходного уравнения, проверим знаменатель $ x^2 - 2x + 3 $. Его дискриминант $ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8 $. Поскольку $ D < 0 $ и коэффициент при $ x^2 $ положителен, выражение $ x^2 - 2x + 3 $ всегда больше нуля, следовательно, ограничений на переменную $ x $ нет.

Решим полученное уравнение относительно $ t $: $ 12 = (t - 1)(t + 3) $ $ 12 = t^2 + 3t - t - 3 $ $ 12 = t^2 + 2t - 3 $ $ t^2 + 2t - 15 = 0 $

Найдем корни этого квадратного уравнения, например, по теореме Виета: $ t_1 + t_2 = -2 $ $ t_1 \cdot t_2 = -15 $ Корни: $ t_1 = -5 $ и $ t_2 = 3 $. Оба корня удовлетворяют условию $ t \neq -3 $.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $ x $.

1) При $ t = -5 $: $ x^2 - 2x = -5 $ $ x^2 - 2x + 5 = 0 $ Дискриминант $ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16 $. Так как $ D < 0 $, действительных корней в этом случае нет.

2) При $ t = 3 $: $ x^2 - 2x = 3 $ $ x^2 - 2x - 3 = 0 $ По теореме Виета: $ x_1 + x_2 = 2 $ $ x_1 \cdot x_2 = -3 $ Корни: $ x_1 = 3 $ и $ x_2 = -1 $.

Ответ: $ -1; 3 $.

б) Решим уравнение $ \frac{12}{x^2 + x - 10} - \frac{6}{x^2 + x - 6} = \frac{5}{x^2 + x - 11} $.

Введем новую переменную. Пусть $ t = x^2 + x $. Уравнение примет вид: $ \frac{12}{t - 10} - \frac{6}{t - 6} = \frac{5}{t - 11} $.

ОДЗ для $ t $: $ t \neq 10 $, $ t \neq 6 $, $ t \neq 11 $.

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю: $ \frac{12(t - 6) - 6(t - 10)}{(t - 10)(t - 6)} = \frac{5}{t - 11} $ $ \frac{12t - 72 - 6t + 60}{t^2 - 6t - 10t + 60} = \frac{5}{t - 11} $ $ \frac{6t - 12}{t^2 - 16t + 60} = \frac{5}{t - 11} $

По свойству пропорции (перекрестное умножение): $ (6t - 12)(t - 11) = 5(t^2 - 16t + 60) $ $ 6t^2 - 66t - 12t + 132 = 5t^2 - 80t + 300 $ $ 6t^2 - 78t + 132 = 5t^2 - 80t + 300 $ Перенесем все члены в одну сторону: $ t^2 + 2t - 168 = 0 $

Найдем корни квадратного уравнения. Дискриминант $ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-168) = 4 + 672 = 676 = 26^2 $. $ t_1 = \frac{-2 - 26}{2} = \frac{-28}{2} = -14 $ $ t_2 = \frac{-2 + 26}{2} = \frac{24}{2} = 12 $ Оба корня удовлетворяют ОДЗ для $ t $.

Выполним обратную замену.

1) При $ t = -14 $: $ x^2 + x = -14 $ $ x^2 + x + 14 = 0 $ Дискриминант $ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14 = 1 - 56 = -55 $. Так как $ D < 0 $, действительных корней нет.

2) При $ t = 12 $: $ x^2 + x = 12 $ $ x^2 + x - 12 = 0 $ По теореме Виета, корни $ x_1 = 3 $, $ x_2 = -4 $.

Проверим, что найденные корни не обращают в ноль знаменатели исходного уравнения. При $ x = 3 $ и $ x = -4 $ выражение $ x^2 + x $ равно 12. Знаменатели равны $ 12-10=2 $, $ 12-6=6 $, $ 12-11=1 $, все они отличны от нуля.

Ответ: $ -4; 3 $.

в) Решим уравнение $ \frac{16}{x^2 - 2x} - \frac{11}{x^2 - 2x + 3} = \frac{9}{x^2 - 2x + 1} $.

Введем новую переменную. Пусть $ t = x^2 - 2x $. Уравнение примет вид: $ \frac{16}{t} - \frac{11}{t + 3} = \frac{9}{t + 1} $.

ОДЗ для $ t $: $ t \neq 0 $, $ t \neq -3 $, $ t \neq -1 $. Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем к общему знаменателю $ t(t+3)(t+1) $: $ \frac{16(t+3)(t+1) - 11t(t+1) - 9t(t+3)}{t(t+3)(t+1)} = 0 $

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. $ 16(t^2 + 4t + 3) - 11(t^2 + t) - 9(t^2 + 3t) = 0 $ $ 16t^2 + 64t + 48 - 11t^2 - 11t - 9t^2 - 27t = 0 $ Приведем подобные члены: $ (16 - 11 - 9)t^2 + (64 - 11 - 27)t + 48 = 0 $ $ -4t^2 + 26t + 48 = 0 $ Разделим все уравнение на -2 для упрощения: $ 2t^2 - 13t - 24 = 0 $

Найдем корни полученного квадратного уравнения. Дискриминант $ D = (-13)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-24) = 169 + 192 = 361 = 19^2 $. $ t_1 = \frac{13 - 19}{2 \cdot 2} = \frac{-6}{4} = -1.5 $ $ t_2 = \frac{13 + 19}{2 \cdot 2} = \frac{32}{4} = 8 $ Оба корня удовлетворяют ОДЗ для $ t $.

Выполним обратную замену.

1) При $ t = -1.5 $: $ x^2 - 2x = -1.5 $ $ x^2 - 2x + 1.5 = 0 $ $ 2x^2 - 4x + 3 = 0 $ Дискриминант $ D = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 16 - 24 = -8 $. Так как $ D < 0 $, действительных корней нет.

2) При $ t = 8 $: $ x^2 - 2x = 8 $ $ x^2 - 2x - 8 = 0 $ По теореме Виета, корни $ x_1 = 4 $, $ x_2 = -2 $.

Проверим, что найденные корни не обращают в ноль знаменатели исходного уравнения. При $ x = 4 $ и $ x = -2 $ выражение $ x^2 - 2x $ равно 8. Знаменатели равны 8, $ 8+3=11 $, $ 8+1=9 $, все они отличны от нуля.

Ответ: $ -2; 4 $.

298. Найдите корни уравнения:

а) $\left(\frac{x+2}{x-4}\right)^2 + 16\left(\frac{x-4}{x+2}\right)^2 = 17$;

б) $\left(\frac{x+1}{x-3}\right)^2 + 18\left(\frac{x-3}{x+1}\right)^2 = 11$.

а) $(\frac{x+2}{x-4})^2 + 16(\frac{x-4}{x+2})^2 = 17$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю, поэтому:
$x - 4 \neq 0 \implies x \neq 4$
$x + 2 \neq 0 \implies x \neq -2$

Данное уравнение является биквадратным относительно дроби. Чтобы его решить, введем новую переменную. Пусть $y = (\frac{x+2}{x-4})^2$. Тогда выражение $(\frac{x-4}{x+2})^2$ будет равно $\frac{1}{y}$. Заметим, что $y$ не может быть отрицательным, так как является квадратом. Также $y \neq 0$, иначе $x+2=0$, что противоречит ОДЗ для второго слагаемого.

Подставим новую переменную в исходное уравнение:
$y + \frac{16}{y} = 17$

Умножим обе части уравнения на $y$ (так как $y \neq 0$), чтобы избавиться от знаменателя:
$y^2 + 16 = 17y$
$y^2 - 17y + 16 = 0$

Получили квадратное уравнение относительно $y$. Решим его. По теореме Виета, сумма корней равна 17, а их произведение равно 16. Следовательно, корни:
$y_1 = 1$
$y_2 = 16$

Оба корня положительны и подходят. Теперь вернемся к исходной переменной $x$, рассмотрев два случая.

Случай 1: $y = 1$
$(\frac{x+2}{x-4})^2 = 1$
Это уравнение эквивалентно двум уравнениям:
1) $\frac{x+2}{x-4} = 1 \implies x+2 = x-4 \implies 2 = -4$. Решений нет.
2) $\frac{x+2}{x-4} = -1 \implies x+2 = -(x-4) \implies x+2 = -x+4 \implies 2x = 2 \implies x = 1$.
Корень $x=1$ удовлетворяет ОДЗ.

Случай 2: $y = 16$
$(\frac{x+2}{x-4})^2 = 16$
Это уравнение также эквивалентно двум уравнениям:
1) $\frac{x+2}{x-4} = 4 \implies x+2 = 4(x-4) \implies x+2 = 4x-16 \implies 18 = 3x \implies x = 6$.
Корень $x=6$ удовлетворяет ОДЗ.
2) $\frac{x+2}{x-4} = -4 \implies x+2 = -4(x-4) \implies x+2 = -4x+16 \implies 5x = 14 \implies x = \frac{14}{5}$.
Корень $x = \frac{14}{5}$ (или 2,8) удовлетворяет ОДЗ.

Таким образом, уравнение имеет три корня.
Ответ: $1; 6; \frac{14}{5}$.

б) $(\frac{x+1}{x-3})^2 + 18(\frac{x-3}{x+1})^2 = 11$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
$x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3$
$x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1$

Аналогично предыдущему пункту, введем замену. Пусть $y = (\frac{x+1}{x-3})^2$. Тогда $(\frac{x-3}{x+1})^2 = \frac{1}{y}$. Учитывая, что $y>0$, подставляем в уравнение:
$y + \frac{18}{y} = 11$

Умножим обе части на $y$:
$y^2 + 18 = 11y$
$y^2 - 11y + 18 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 11, произведение равно 18. Корни:
$y_1 = 2$
$y_2 = 9$

Оба корня подходят. Выполним обратную замену.

Случай 1: $y = 2$
$(\frac{x+1}{x-3})^2 = 2$
1) $\frac{x+1}{x-3} = \sqrt{2} \implies x+1 = \sqrt{2}(x-3) \implies x+1 = x\sqrt{2}-3\sqrt{2} \implies 1+3\sqrt{2} = x(\sqrt{2}-1) \implies x = \frac{1+3\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1} = \frac{(1+3\sqrt{2})(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{\sqrt{2}+1+6+3\sqrt{2}}{2-1} = 7+4\sqrt{2}$.
2) $\frac{x+1}{x-3} = -\sqrt{2} \implies x+1 = -\sqrt{2}(x-3) \implies x+1 = -x\sqrt{2}+3\sqrt{2} \implies x(1+\sqrt{2}) = 3\sqrt{2}-1 \implies x = \frac{3\sqrt{2}-1}{1+\sqrt{2}} = \frac{(3\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-1)}{(1+\sqrt{2})(\sqrt{2}-1)} = \frac{6-3\sqrt{2}-\sqrt{2}+1}{2-1} = 7-4\sqrt{2}$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Случай 2: $y = 9$
$(\frac{x+1}{x-3})^2 = 9$
1) $\frac{x+1}{x-3} = 3 \implies x+1 = 3(x-3) \implies x+1 = 3x-9 \implies 10 = 2x \implies x=5$.
Корень $x=5$ удовлетворяет ОДЗ.
2) $\frac{x+1}{x-3} = -3 \implies x+1 = -3(x-3) \implies x+1 = -3x+9 \implies 4x = 8 \implies x=2$.
Корень $x=2$ удовлетворяет ОДЗ.

Таким образом, уравнение имеет четыре корня.
Ответ: $2; 5; 7-4\sqrt{2}; 7+4\sqrt{2}$.

299. (Задача-исследование.) Существует ли такое положительное число, при сложении которого с числом, ему обратным, получится сумма, которая в 13 раз меньше суммы кубов этих чисел?

1) Обсудите, значения каких выражений сравниваются, и составьте соответствующее уравнение.

2) Решите уравнение, используя введение новой переменной.

3) Для каждого из найденных значений вспомогательной переменной вычислите корень составленного уравнения.

4) Выберите значения корней, соответствующие условию задачи.

1) Обсудите, значения каких выражений сравниваются, и составьте соответствующее уравнение.

В задаче требуется найти положительное число. Обозначим это число переменной $x$, где $x > 0$.

Числом, обратным к $x$, является $\frac{1}{x}$.

Сумма этого числа с ему обратным равна: $x + \frac{1}{x}$.

Сумма кубов этих чисел равна: $x^3 + \left(\frac{1}{x}\right)^3 = x^3 + \frac{1}{x^3}$.

По условию, первая сумма в 13 раз меньше второй. Это равносильно тому, что вторая сумма в 13 раз больше первой. Таким образом, сравниваются выражения $x + \frac{1}{x}$ и $x^3 + \frac{1}{x^3}$.

Составим уравнение на основе этого условия:

$x^3 + \frac{1}{x^3} = 13 \cdot \left(x + \frac{1}{x}\right)$

Ответ: Сравниваются выражения $x + \frac{1}{x}$ и $x^3 + \frac{1}{x^3}$. Уравнение: $x^3 + \frac{1}{x^3} = 13\left(x + \frac{1}{x}\right)$.

2) Решите уравнение, используя введение новой переменной.

Для решения данного уравнения удобно ввести замену. Пусть $t = x + \frac{1}{x}$.

Выразим левую часть уравнения, $x^3 + \frac{1}{x^3}$, через новую переменную $t$. Используем тождество суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$.

$x^3 + \frac{1}{x^3} = \left(x + \frac{1}{x}\right)\left(x^2 - x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}\right) = \left(x + \frac{1}{x}\right)\left(x^2 + \frac{1}{x^2} - 1\right)$.

Также выразим $x^2 + \frac{1}{x^2}$ через $t$:
$t^2 = \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$.
Отсюда $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$.

Подставим это в выражение для суммы кубов:
$x^3 + \frac{1}{x^3} = t \cdot ((t^2 - 2) - 1) = t(t^2 - 3) = t^3 - 3t$.

Теперь исходное уравнение можно переписать в виде:
$t^3 - 3t = 13t$.

Решим это уравнение относительно $t$:
$t^3 - 3t - 13t = 0$
$t^3 - 16t = 0$
$t(t^2 - 16) = 0$
$t(t-4)(t+4) = 0$.

Корни этого уравнения: $t_1 = 0$, $t_2 = 4$, $t_3 = -4$.

Ответ: Вспомогательная переменная $t = x + \frac{1}{x}$. Уравнение относительно $t$: $t^3 - 16t = 0$. Корни этого уравнения: $t_1 = 0$, $t_2 = 4$, $t_3 = -4$.

3) Для каждого из найденных значений вспомогательной переменной вычислите корень составленного уравнения.

Выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$. Уравнение для нахождения $x$ имеет вид $x + \frac{1}{x} = t$. Умножив на $x$ (где $x \neq 0$), получим квадратное уравнение: $x^2 - tx + 1 = 0$.

Случай 1: $t = 0$.
Уравнение принимает вид $x^2 + 1 = 0$, или $x^2 = -1$. В множестве действительных чисел это уравнение корней не имеет.

Случай 2: $t = 4$.
Уравнение: $x^2 - 4x + 1 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12$.
Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$.
Получаем два корня: $x_1 = 2 + \sqrt{3}$ и $x_2 = 2 - \sqrt{3}$.

Случай 3: $t = -4$.
Уравнение: $x^2 - (-4)x + 1 = 0$, то есть $x^2 + 4x + 1 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12$.
Корни уравнения: $x_{3,4} = \frac{-4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -2 \pm \sqrt{3}$.
Получаем еще два корня: $x_3 = -2 + \sqrt{3}$ и $x_4 = -2 - \sqrt{3}$.

Ответ: При $t=0$ действительных корней нет. При $t=4$ корни $x=2+\sqrt{3}$ и $x=2-\sqrt{3}$. При $t=-4$ корни $x=-2+\sqrt{3}$ и $x=-2-\sqrt{3}$.

4) Выберите значения корней, соответствующие условию задачи.

Согласно условию, искомое число $x$ должно быть положительным, то есть $x > 0$. Проверим каждый из четырех найденных корней.

Корень $x = 2 + \sqrt{3}$ является положительным, так как это сумма двух положительных чисел. Этот корень подходит.

Для корня $x = 2 - \sqrt{3}$ сравним $2$ и $\sqrt{3}$. Поскольку $2 = \sqrt{4}$ и $4 > 3$, то $2 > \sqrt{3}$. Следовательно, разность $2 - \sqrt{3}$ положительна. Этот корень также подходит.

Для корня $x = -2 + \sqrt{3}$ имеем $2 > \sqrt{3}$, поэтому $-2 < -\sqrt{3}$, и $-2 + \sqrt{3} < 0$. Этот корень является отрицательным и не подходит.

Корень $x = -2 - \sqrt{3}$ очевидно отрицательный, так как является суммой двух отрицательных чисел. Этот корень не подходит.

Таким образом, мы нашли два положительных числа, которые удовлетворяют условию задачи. Это означает, что такое число существует, и главный вопрос задачи получает утвердительный ответ.

Ответ: Искомые положительные числа: $2 + \sqrt{3}$ и $2 - \sqrt{3}$.

300. Решите уравнение:

a) $x^2 + \frac{1}{x^2} - \frac{1}{2}\left(x - \frac{1}{x}\right) = 3\frac{1}{2}$;

б) $x^2 + \frac{1}{x^2} - \frac{1}{3}\left(x + \frac{1}{x}\right) = 8.$

a) $x^2 + \frac{1}{x^2} - \frac{1}{2}(x - \frac{1}{x}) = 3\frac{1}{2}$

Данное уравнение является возвратным. Область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$ - все действительные числа, кроме $x=0$.

Перепишем уравнение, представив смешанное число в виде неправильной дроби: $3\frac{1}{2} = \frac{7}{2}$.

$x^2 + \frac{1}{x^2} - \frac{1}{2}(x - \frac{1}{x}) = \frac{7}{2}$

Введем новую переменную. Пусть $y = x - \frac{1}{x}$.

Возведем обе части этого равенства в квадрат, чтобы выразить через $y$ выражение $x^2 + \frac{1}{x^2}$:

$y^2 = (x - \frac{1}{x})^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + (\frac{1}{x})^2 = x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}$.

Отсюда получаем: $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 + 2$.

Подставим выражения для $y$ и $y^2+2$ в исходное уравнение:

$(y^2 + 2) - \frac{1}{2}y = \frac{7}{2}$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $y$:

$y^2 - \frac{1}{2}y + 2 - \frac{7}{2} = 0$

$y^2 - \frac{1}{2}y - \frac{3}{2} = 0$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателей:

$2y^2 - y - 3 = 0$

Найдем корни с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$.

$y_1 = \frac{1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 5}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

$y_2 = \frac{1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 5}{4} = \frac{-4}{4} = -1$

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $y$.

1. Если $y = \frac{3}{2}$, то $x - \frac{1}{x} = \frac{3}{2}$.

Умножим на $2x$ (так как $x \neq 0$):

$2x^2 - 2 = 3x$

$2x^2 - 3x - 2 = 0$

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$.

$x_1 = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$x_2 = \frac{3 - 5}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

2. Если $y = -1$, то $x - \frac{1}{x} = -1$.

Умножим на $x$:

$x^2 - 1 = -x$

$x^2 + x - 1 = 0$

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5$.

$x_3 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$

$x_4 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$

Все четыре корня входят в ОДЗ.

Ответ: $2; -\frac{1}{2}; \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}; \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$.

б) $x^2 + \frac{1}{x^2} - \frac{1}{3}(x + \frac{1}{x}) = 8$

ОДЗ: $x \neq 0$. Это уравнение также является возвратным.

Сделаем замену переменной. Пусть $z = x + \frac{1}{x}$.

Возведем в квадрат обе части равенства:

$z^2 = (x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$.

Выразим отсюда $x^2 + \frac{1}{x^2} = z^2 - 2$.

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$(z^2 - 2) - \frac{1}{3}z = 8$

Решим это квадратное уравнение относительно $z$:

$z^2 - \frac{1}{3}z - 2 - 8 = 0$

$z^2 - \frac{1}{3}z - 10 = 0$

Умножим на 3, чтобы избавиться от дроби:

$3z^2 - z - 30 = 0$

Найдем корни через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-30) = 1 + 360 = 361 = 19^2$.

$z_1 = \frac{1 + 19}{2 \cdot 3} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}$

$z_2 = \frac{1 - 19}{2 \cdot 3} = \frac{-18}{6} = -3$

Теперь выполним обратную замену для $x$.

1. Если $z = \frac{10}{3}$, то $x + \frac{1}{x} = \frac{10}{3}$.

Умножим на $3x$ (где $x \neq 0$):

$3x^2 + 3 = 10x$

$3x^2 - 10x + 3 = 0$

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 = 8^2$.

$x_1 = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$

$x_2 = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

2. Если $z = -3$, то $x + \frac{1}{x} = -3$.

Умножим на $x$:

$x^2 + 1 = -3x$

$x^2 + 3x + 1 = 0$

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 - 4 = 5$.

$x_3 = \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}$

$x_4 = \frac{-3 - \sqrt{5}}{2}$

Все четыре корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $3; \frac{1}{3}; \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}; \frac{-3 - \sqrt{5}}{2}$.

301. Сократите дробь:

а) $\frac{12 - 5x - 2x^2}{15 - 10x}$;

б) $\frac{3x^2 - 36x - 192}{x^2 - 256}$.

Чтобы сократить дробь $ \frac{12 - 5x - 2x^2}{15 - 10x} $, разложим на множители ее числитель и знаменатель.
Сначала разложим числитель $ 12 - 5x - 2x^2 $. Это квадратный трехчлен. Для нахождения его корней решим уравнение $ -2x^2 - 5x + 12 = 0 $.
Умножим уравнение на $-1$, чтобы получить положительный старший коэффициент: $ 2x^2 + 5x - 12 = 0 $.
Найдем дискриминант по формуле $ D = b^2 - 4ac $:
$ D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-12) = 25 + 96 = 121 = 11^2 $.
Теперь найдем корни уравнения:
$ x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 11}{2 \cdot 2} = \frac{-16}{4} = -4 $.
$ x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 11}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} $.
Используя формулу разложения квадратного трехчлена $ ax^2+bx+c = a(x-x_1)(x-x_2) $, получаем:
$ -2x^2 - 5x + 12 = -2(x - (-4))(x - \frac{3}{2}) = -2(x+4)(x - \frac{3}{2}) $.
Чтобы избавиться от дроби в скобках, внесем множитель $-2$ во вторую скобку: $ (x+4)(-2(x-\frac{3}{2})) = (x+4)(-2x+3) = (x+4)(3-2x) $.
Теперь разложим на множители знаменатель $ 15 - 10x $. Вынесем за скобки общий множитель $5$:
$ 15 - 10x = 5(3-2x) $.
Подставим полученные выражения в исходную дробь и выполним сокращение:
$ \frac{(x+4)(3 - 2x)}{5(3 - 2x)} = \frac{x+4}{5} $ (при условии, что $ 3-2x \neq 0 $, т.е. $ x \neq \frac{3}{2} $).
Ответ: $ \frac{x+4}{5} $.

Чтобы сократить дробь $ \frac{3x^2 - 36x - 192}{x^2 - 256} $, разложим на множители ее числитель и знаменатель.
Разложим числитель $ 3x^2 - 36x - 192 $. Сначала вынесем общий множитель $3$ за скобки:
$ 3(x^2 - 12x - 64) $.
Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $ x^2 - 12x - 64 $, найдя его корни из уравнения $ x^2 - 12x - 64 = 0 $.
Найдем дискриминант по формуле $ D = b^2 - 4ac $:
$ D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-64) = 144 + 256 = 400 = 20^2 $.
Теперь найдем корни уравнения:
$ x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 - 20}{2 \cdot 1} = \frac{-8}{2} = -4 $.
$ x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 + 20}{2 \cdot 1} = \frac{32}{2} = 16 $.
Таким образом, разложение квадратного трехчлена имеет вид: $ x^2 - 12x - 64 = (x - (-4))(x - 16) = (x+4)(x-16) $.
Полное разложение числителя: $ 3(x+4)(x-16) $.
Теперь разложим на множители знаменатель $ x^2 - 256 $. Это разность квадратов, так как $ 256 = 16^2 $.
Используем формулу $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $:
$ x^2 - 256 = x^2 - 16^2 = (x-16)(x+16) $.
Подставим полученные выражения в исходную дробь и выполним сокращение:
$ \frac{3(x+4)(x-16)}{(x-16)(x+16)} = \frac{3(x+4)}{x+16} $ (при условии, что $ x-16 \neq 0 $, т.е. $ x \neq 16 $).
Ответ: $ \frac{3(x+4)}{x+16} $.

302. Постройте график функции $y = x^2 - 3$. Укажите промежутки, в которых функция принимает:

a) положительные значения;

б) отрицательные значения.

Для построения графика функции $y = x^2 - 3$ выполним следующие шаги.

1. Определение вида графика.
Функция $y = x^2 - 3$ является квадратичной. Её график — парабола. График можно получить из графика функции $y = x^2$ путем сдвига на 3 единицы вниз вдоль оси Oy. Так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительное число), ветви параболы направлены вверх.

2. Нахождение вершины параболы.
Координаты вершины $(x_v, y_v)$ для функции вида $y = ax^2 + bx + c$ находятся по формуле $x_v = -b/(2a)$. В нашем случае $a=1, b=0, c=-3$.
$x_v = -0 / (2 \cdot 1) = 0$.
Подставим $x_v$ в уравнение функции, чтобы найти $y_v$:
$y_v = 0^2 - 3 = -3$.
Таким образом, вершина параболы находится в точке $(0, -3)$.

3. Нахождение точек пересечения с осями координат (нулей функции).
Пересечение с осью Oy: При $x=0$, $y = 0^2 - 3 = -3$. Точка $(0, -3)$.
Пересечение с осью Ox: При $y=0$, получаем уравнение:
$x^2 - 3 = 0$
$x^2 = 3$
$x = \pm\sqrt{3}$.
Точки пересечения с осью Ox: $(-\sqrt{3}, 0)$ и $(\sqrt{3}, 0)$. (Приблизительно $( -1.73, 0)$ и $(1.73, 0)$).

4. Построение таблицы значений и графика.
Составим таблицу для нескольких значений $x$:

На основе этих точек строим параболу с вершиной в $(0, -3)$, проходящую через вычисленные точки.

Теперь на основе анализа графика и решения неравенств определим промежутки, в которых функция принимает положительные и отрицательные значения.

а) положительные значения
Функция принимает положительные значения ($y>0$), когда её график расположен выше оси Ox. Это происходит на интервалах левее точки $x = -\sqrt{3}$ и правее точки $x = \sqrt{3}$.
Решим неравенство $x^2 - 3 > 0$:
$x^2 > 3$
$|x| > \sqrt{3}$
Это означает, что $x < -\sqrt{3}$ или $x > \sqrt{3}$.
Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty; -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}; \infty)$.

б) отрицательные значения
Функция принимает отрицательные значения ($y<0$), когда её график расположен ниже оси Ox. Это происходит на интервале между точками пересечения с осью Ox, то есть между $-\sqrt{3}$ и $\sqrt{3}$.
Решим неравенство $x^2 - 3 < 0$:
$x^2 < 3$
$|x| < \sqrt{3}$
Это означает, что $-\sqrt{3} < x < \sqrt{3}$.
Ответ: $y < 0$ при $x \in (-\sqrt{3}; \sqrt{3})$.