Номер 301, страница 86 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

13. Дробные рациональные уравнения. § 5. Уравнения с одной переменной. Глава 2. Уравнения и неравенства с одной переменной - номер 301, страница 86.

301. Сократите дробь:

а) $\frac{12 - 5x - 2x^2}{15 - 10x}$;

б) $\frac{3x^2 - 36x - 192}{x^2 - 256}$.

а)

Чтобы сократить дробь $ \frac{12 - 5x - 2x^2}{15 - 10x} $, разложим на множители ее числитель и знаменатель.
Сначала разложим числитель $ 12 - 5x - 2x^2 $. Это квадратный трехчлен. Для нахождения его корней решим уравнение $ -2x^2 - 5x + 12 = 0 $.
Умножим уравнение на $-1$, чтобы получить положительный старший коэффициент: $ 2x^2 + 5x - 12 = 0 $.
Найдем дискриминант по формуле $ D = b^2 - 4ac $:
$ D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-12) = 25 + 96 = 121 = 11^2 $.
Теперь найдем корни уравнения:
$ x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 11}{2 \cdot 2} = \frac{-16}{4} = -4 $.
$ x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 11}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} $.
Используя формулу разложения квадратного трехчлена $ ax^2+bx+c = a(x-x_1)(x-x_2) $, получаем:
$ -2x^2 - 5x + 12 = -2(x - (-4))(x - \frac{3}{2}) = -2(x+4)(x - \frac{3}{2}) $.
Чтобы избавиться от дроби в скобках, внесем множитель $-2$ во вторую скобку: $ (x+4)(-2(x-\frac{3}{2})) = (x+4)(-2x+3) = (x+4)(3-2x) $.
Теперь разложим на множители знаменатель $ 15 - 10x $. Вынесем за скобки общий множитель $5$:
$ 15 - 10x = 5(3-2x) $.
Подставим полученные выражения в исходную дробь и выполним сокращение:
$ \frac{(x+4)(3 - 2x)}{5(3 - 2x)} = \frac{x+4}{5} $ (при условии, что $ 3-2x \neq 0 $, т.е. $ x \neq \frac{3}{2} $).
Ответ: $ \frac{x+4}{5} $.

б)

Чтобы сократить дробь $ \frac{3x^2 - 36x - 192}{x^2 - 256} $, разложим на множители ее числитель и знаменатель.
Разложим числитель $ 3x^2 - 36x - 192 $. Сначала вынесем общий множитель $3$ за скобки:
$ 3(x^2 - 12x - 64) $.
Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $ x^2 - 12x - 64 $, найдя его корни из уравнения $ x^2 - 12x - 64 = 0 $.
Найдем дискриминант по формуле $ D = b^2 - 4ac $:
$ D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-64) = 144 + 256 = 400 = 20^2 $.
Теперь найдем корни уравнения:
$ x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 - 20}{2 \cdot 1} = \frac{-8}{2} = -4 $.
$ x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 + 20}{2 \cdot 1} = \frac{32}{2} = 16 $.
Таким образом, разложение квадратного трехчлена имеет вид: $ x^2 - 12x - 64 = (x - (-4))(x - 16) = (x+4)(x-16) $.
Полное разложение числителя: $ 3(x+4)(x-16) $.
Теперь разложим на множители знаменатель $ x^2 - 256 $. Это разность квадратов, так как $ 256 = 16^2 $.
Используем формулу $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $:
$ x^2 - 256 = x^2 - 16^2 = (x-16)(x+16) $.
Подставим полученные выражения в исходную дробь и выполним сокращение:
$ \frac{3(x+4)(x-16)}{(x-16)(x+16)} = \frac{3(x+4)}{x+16} $ (при условии, что $ x-16 \neq 0 $, т.е. $ x \neq 16 $).
Ответ: $ \frac{3(x+4)}{x+16} $.