Номер 303, страница 87 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

13. Дробные рациональные уравнения. § 5. Уравнения с одной переменной. Глава 2. Уравнения и неравенства с одной переменной - номер 303, страница 87.

303. На строительстве работали две бригады. После 5 дней совместной работы вторую бригаду перевели на другой объект. Оставшуюся часть работы первая бригада закончила за 9 дней. За сколько дней могла бы выполнить всю работу каждая бригада, работая отдельно, если известно, что второй бригаде на выполнение всей работы потребовалось бы на 12 дней меньше, чем одной первой бригаде?

Для решения задачи примем весь объем работы за 1. Пусть первая бригада может выполнить всю работу за $x$ дней, тогда ее производительность (часть работы в день) равна $\frac{1}{x}$.

По условию, второй бригаде на выполнение той же работы требуется на 12 дней меньше, то есть $x-12$ дней. Ее производительность равна $\frac{1}{x-12}$.

За 5 дней совместной работы две бригады выполнили часть работы, равную сумме их производительностей, умноженной на время: $5 \cdot \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x-12}\right)$

После этого первая бригада работала одна еще 9 дней. За это время она выполнила часть работы, равную: $9 \cdot \frac{1}{x}$

Сумма этих двух частей работы равна всему объему, то есть 1. Составим и решим уравнение: $5 \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x-12}\right) + \frac{9}{x} = 1$

Раскроем скобки и упростим выражение: $\frac{5}{x} + \frac{5}{x-12} + \frac{9}{x} = 1$ $\frac{14}{x} + \frac{5}{x-12} = 1$

Приведем левую часть к общему знаменателю $x(x-12)$: $\frac{14(x-12) + 5x}{x(x-12)} = 1$

Так как $x$ — это количество дней, то $x>0$. И так как второй бригаде требуется $x-12$ дней, то $x-12>0$, откуда $x>12$. При этом условии знаменатель не равен нулю, и мы можем умножить обе части уравнения на $x(x-12)$: $14(x-12) + 5x = x(x-12)$ $14x - 168 + 5x = x^2 - 12x$ $19x - 168 = x^2 - 12x$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$: $x^2 - 12x - 19x + 168 = 0$ $x^2 - 31x + 168 = 0$

Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-31)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 168 = 961 - 672 = 289$ $\sqrt{D} = 17$

Найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{31 + 17}{2} = \frac{48}{2} = 24$ $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{31 - 17}{2} = \frac{14}{2} = 7$

Проверим корни на соответствие условию $x>12$. Корень $x_1 = 24$ удовлетворяет условию. Корень $x_2 = 7$ не удовлетворяет условию, поэтому он является посторонним.

Таким образом, время выполнения работы первой бригадой составляет 24 дня.

Время выполнения работы второй бригадой: $x - 12 = 24 - 12 = 12$ дней.

Ответ: первая бригада могла бы выполнить всю работу за 24 дня, а вторая бригада — за 12 дней.