Номер 4, страница 87 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

4 Какое уравнение называется дробным рациональным? На примере уравнения $\frac{4}{x - 1} + \frac{1}{x - 3} = \frac{x^2 - 7}{x^2 - 4x + 3}$ объясните, как решают дробные рациональные уравнения.

Какое уравнение называется дробным рациональным?

Дробным рациональным уравнением называется уравнение, в котором одна или обе части являются дробными выражениями, то есть содержат переменную в знаменателе дроби. Общий вид такого уравнения можно свести к $\frac{P(x)}{Q(x)} = 0$, где $P(x)$ и $Q(x)$ — многочлены. Ключевой особенностью является то, что переменная находится в знаменателе, что накладывает ограничения на возможные значения переменной (знаменатель не может быть равен нулю).

Ответ: Уравнение, содержащее переменную в знаменателе дроби, называется дробным рациональным.

На примере уравнения $\frac{4}{x-1} + \frac{1}{x-3} = \frac{x^2 - 7}{x^2 - 4x + 3}$ объясните, как решают дробные рациональные уравнения.

Алгоритм решения дробных рациональных уравнений включает в себя несколько обязательных шагов. Рассмотрим их на данном примере.

1. Найти область допустимых значений (ОДЗ).

Это первый и самый важный шаг. Знаменатель дроби не может равняться нулю. Поэтому необходимо найти все значения $x$, при которых знаменатели в уравнении обращаются в ноль, и исключить их.

В нашем уравнении три знаменателя: $x-1$, $x-3$ и $x^2 - 4x + 3$.

• $x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1$
• $x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3$
• $x^2 - 4x + 3 \neq 0$. Разложим этот квадратный трехчлен на множители. По теореме Виета, его корни $x_1=1$ и $x_2=3$. Значит, $x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)$. Это условие дает те же ограничения: $x \neq 1$ и $x \neq 3$.

Таким образом, ОДЗ: $x$ — любое число, кроме $1$ и $3$.

2. Привести все дроби к общему знаменателю.

Общим знаменателем для всех дробей является выражение $(x-1)(x-3)$. Умножим числитель и знаменатель первой дроби на $(x-3)$, а второй — на $(x-1)$.

$\frac{4(x-3)}{(x-1)(x-3)} + \frac{1(x-1)}{(x-1)(x-3)} = \frac{x^2 - 7}{(x-1)(x-3)}$

3. Избавиться от знаменателя и решить полученное целое уравнение.

Теперь, когда знаменатели одинаковы, мы можем умножить обе части уравнения на общий знаменатель $(x-1)(x-3)$ (зная, что он не равен нулю в ОДЗ) и приравнять числители.

$4(x-3) + 1(x-1) = x^2 - 7$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$4x - 12 + x - 1 = x^2 - 7$

$5x - 13 = x^2 - 7$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 5x - 7 + 13 = 0$

$x^2 - 5x + 6 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Отсюда находим корни:

$x_1 = 2$

$x_2 = 3$

4. Проверить корни на соответствие ОДЗ.

Мы получили два потенциальных решения: $x=2$ и $x=3$. Теперь необходимо проверить, входят ли они в область допустимых значений ($x \neq 1$ и $x \neq 3$).

• Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет ОДЗ, так как $2 \neq 1$ и $2 \neq 3$. Значит, $x=2$ является решением исходного уравнения.
• Корень $x_2 = 3$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $x$ не может быть равен 3. Это посторонний корень, который появился в результате преобразований. Его необходимо исключить.

5. Записать ответ.

В ответ записываются только те корни, которые прошли проверку на соответствие ОДЗ.

Ответ: $x=2$.