Номер 310, страница 91 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

310. При каких значениях b уравнение имеет два корня:

a) $3x^2 + bx + 3 = 0;$

б) $x^2 + 2bx + 15 = 0?$

Квадратное уравнение вида $Ax^2+Bx+C=0$ имеет два различных действительных корня, когда его дискриминант $D$ больше нуля. Дискриминант вычисляется по формуле $D = B^2 - 4AC$.

а) $3x^2 + bx + 3 = 0$

В данном уравнении коэффициенты: $A = 3$, $B = b$, $C = 3$.
Найдем дискриминант этого уравнения:
$D = B^2 - 4AC = b^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = b^2 - 36$.
Уравнение имеет два корня при условии $D > 0$:
$b^2 - 36 > 0$.
Разложим левую часть неравенства на множители, используя формулу разности квадратов:
$(b - 6)(b + 6) > 0$.
Это неравенство истинно, когда оба множителя имеют одинаковый знак.
1. Оба множителя положительны: $b - 6 > 0$ и $b + 6 > 0$, что равносильно $b > 6$ и $b > -6$. Общее решение для этого случая: $b > 6$.
2. Оба множителя отрицательны: $b - 6 < 0$ и $b + 6 < 0$, что равносильно $b < 6$ и $b < -6$. Общее решение для этого случая: $b < -6$.
Объединяя оба случая, получаем, что $b$ должен быть меньше $-6$ или больше $6$.
Ответ: $b \in (-\infty; -6) \cup (6; \infty)$.

б) $x^2 + 2bx + 15 = 0$

В данном уравнении коэффициенты: $A = 1$, $B = 2b$, $C = 15$.
Найдем дискриминант этого уравнения:
$D = B^2 - 4AC = (2b)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 4b^2 - 60$.
Уравнение имеет два корня при условии $D > 0$:
$4b^2 - 60 > 0$.
Разделим обе части неравенства на 4 (так как 4 > 0, знак неравенства не меняется):
$b^2 - 15 > 0$.
Разложим левую часть на множители:
$(b - \sqrt{15})(b + \sqrt{15}) > 0$.
Решая это неравенство методом интервалов, находим, что оно выполняется, когда значение $b$ находится вне промежутка между корнями $-\sqrt{15}$ и $\sqrt{15}$.
Следовательно, $b < -\sqrt{15}$ или $b > \sqrt{15}$.
Ответ: $b \in (-\infty; -\sqrt{15}) \cup (\sqrt{15}; \infty)$.