Номер 314, страница 91 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

314. Найдите область определения функции:

a) $y = \sqrt{12x - 3x^2}$;

б) $y = \frac{1}{\sqrt{2x^2 - 12x + 18}}$.

а)

Область определения функции $y = \sqrt{12x - 3x^2}$ находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Это приводит к неравенству:

$12x - 3x^2 \ge 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $12x - 3x^2 = 0$. Вынесем общий множитель $3x$ за скобки:

$3x(4 - x) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$.

Графиком функции $f(x) = 12x - 3x^2$ является парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицательный ($-3 < 0$). Следовательно, функция принимает неотрицательные значения на промежутке между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решением неравенства является отрезок $[0, 4]$.

Ответ: $x \in [0, 4]$.

б)

Область определения функции $y = \frac{1}{\sqrt{2x^2 - 12x + 18}}$ определяется двумя условиями:

1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $2x^2 - 12x + 18 \ge 0$.
2. Знаменатель дроби не может быть равен нулю: $\sqrt{2x^2 - 12x + 18} \ne 0$.

Объединяя эти два условия, получаем, что подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго положительным:

$2x^2 - 12x + 18 > 0$

Разделим обе части неравенства на 2, чтобы упростить его:

$x^2 - 6x + 9 > 0$

Левая часть неравенства представляет собой формулу полного квадрата разности:

$(x - 3)^2 > 0$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(x - 3)^2 \ge 0$. Равенство нулю достигается только при $x - 3 = 0$, то есть при $x = 3$. Во всех остальных случаях $(x - 3)^2$ будет строго больше нуля.

Следовательно, неравенство выполняется для всех действительных чисел $x$, кроме $x = 3$.

Ответ: $x \in (-\infty, 3) \cup (3, \infty)$.