Номер 319, страница 92 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

319. Длина прямоугольника на 5 см больше ширины. Какую ширину должен иметь прямоугольник, чтобы его площадь была больше 36 см²?

Пусть ширина прямоугольника равна $x$ см. Поскольку длина прямоугольника на 5 см больше ширины, то его длина составляет $(x + 5)$ см.

Площадь прямоугольника $S$ определяется как произведение его длины на ширину: $S = x \cdot (x + 5)$ см².

Согласно условию задачи, площадь прямоугольника должна быть больше 36 см². Это позволяет нам составить следующее неравенство: $x(x + 5) > 36$

Для решения этого неравенства раскроем скобки и приведем его к стандартному виду квадратичного неравенства: $x^2 + 5x > 36$ $x^2 + 5x - 36 > 0$

Теперь найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 5x - 36 = 0$. Мы можем сделать это с помощью дискриминанта $D$. $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169$

Найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - 13}{2} = \frac{-18}{2} = -9$ $x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 13}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Графиком функции $y = x^2 + 5x - 36$ является парабола с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при $x^2$ положителен). Значения функции положительны ($y > 0$) вне интервала между корнями. Таким образом, решение неравенства $x^2 + 5x - 36 > 0$ есть объединение двух интервалов: $x < -9$ и $x > 4$.

Так как $x$ представляет собой ширину прямоугольника, эта величина по своему физическому смыслу должна быть положительной, то есть $x > 0$.

Сравнивая это ограничение с найденным решением неравенства, мы видим, что условию задачи удовлетворяет только интервал $x > 4$.

Ответ: Ширина прямоугольника должна быть больше 4 см.