Номер 326, страница 96 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

326. Решите неравенство:

а) $ (x + 25)(x - 30) < 0; $

б) $ (x + 6)(x - 6) > 0; $

в) $ \left(x - \frac{1}{3}\right)\left(x - \frac{1}{5}\right) \le 0; $

г) $ (x + 0,1)(x + 6,3) \ge 0. $

а) $(x + 25)(x - 30) < 0$

Для решения данного неравенства используем метод интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения:

$(x + 25)(x - 30) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$x + 25 = 0$ или $x - 30 = 0$

$x_1 = -25$

$x_2 = 30$

Отметим эти точки на числовой прямой. Так как неравенство строгое ($<0$), точки будут выколотыми. Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -25)$, $(-25; 30)$ и $(30; +\infty)$.

Определим знак выражения $(x + 25)(x - 30)$ в каждом интервале. Функция $y = (x+25)(x-30)$ является параболой, ветви которой направлены вверх. Следовательно, значения функции будут положительны по краям и отрицательны в середине.

• При $x > 30$ (например, $x=40$): $(40+25)(40-30) = 65 \cdot 10 > 0$. Знак «+».
• При $-25 < x < 30$ (например, $x=0$): $(0+25)(0-30) = 25 \cdot (-30) < 0$. Знак «-».
• При $x < -25$ (например, $x=-30$): $(-30+25)(-30-30) = (-5) \cdot (-60) > 0$. Знак «+».

Нам нужно, чтобы выражение было меньше нуля, то есть имело знак «-». Этому условию удовлетворяет интервал $(-25; 30)$.

Ответ: $x \in (-25; 30)$.

б) $(x + 6)(x - 6) > 0$

Найдем корни уравнения $(x + 6)(x - 6) = 0$.

$x + 6 = 0$ или $x - 6 = 0$

$x_1 = -6$

$x_2 = 6$

Отметим точки $-6$ и $6$ на числовой прямой. Так как неравенство строгое ($>0$), точки будут выколотыми. Получаем интервалы: $(-\infty; -6)$, $(-6; 6)$ и $(6; +\infty)$.

Выражение $(x+6)(x-6)$ можно записать как $x^2 - 36$. График функции $y = x^2 - 36$ — парабола с ветвями вверх. Знаки в интервалах будут чередоваться: «+», «-», «+».

• Интервал $(-\infty; -6)$: знак «+».
• Интервал $(-6; 6)$: знак «-».
• Интервал $(6; +\infty)$: знак «+».

Нам нужно, чтобы выражение было больше нуля, то есть имело знак «+». Этому условию удовлетворяют два интервала.

Ответ: $x \in (-\infty; -6) \cup (6; +\infty)$.

в) $(x - \frac{1}{3})(x - \frac{1}{5}) \le 0$

Найдем корни уравнения $(x - \frac{1}{3})(x - \frac{1}{5}) = 0$.

$x - \frac{1}{3} = 0$ или $x - \frac{1}{5} = 0$

$x_1 = \frac{1}{3}$

$x_2 = \frac{1}{5}$

Сравним корни: $\frac{1}{5} < \frac{1}{3}$. Отметим эти точки на числовой прямой. Так как неравенство нестрогое ($\le 0$), точки будут закрашенными. Интервалы: $(-\infty; \frac{1}{5}]$, $[\frac{1}{5}; \frac{1}{3}]$ и $[\frac{1}{3}; +\infty)$.

График функции $y = (x - \frac{1}{3})(x - \frac{1}{5})$ — парабола с ветвями вверх. Знаки в интервалах: «+», «-», «+».

• Интервал $(-\infty; \frac{1}{5}]$: знак «+».
• Интервал $[\frac{1}{5}; \frac{1}{3}]$: знак «-».
• Интервал $[\frac{1}{3}; +\infty)$: знак «+».

Нам нужно, чтобы выражение было меньше или равно нулю. Этому условию удовлетворяет центральный интервал, включая его концы.

Ответ: $x \in [\frac{1}{5}; \frac{1}{3}]$.

г) $(x + 0,1)(x + 6,3) \ge 0$

Найдем корни уравнения $(x + 0,1)(x + 6,3) = 0$.

$x + 0,1 = 0$ или $x + 6,3 = 0$

$x_1 = -0,1$

$x_2 = -6,3$

Сравним корни: $-6,3 < -0,1$. Отметим эти точки на числовой прямой. Так как неравенство нестрогое ($\ge 0$), точки будут закрашенными. Интервалы: $(-\infty; -6,3]$, $[-6,3; -0,1]$ и $[-0,1; +\infty)$.

График функции $y = (x + 0,1)(x + 6,3)$ — парабола с ветвями вверх. Знаки в интервалах: «+», «-», «+».

• Интервал $(-\infty; -6,3]$: знак «+».
• Интервал $[-6,3; -0,1]$: знак «-».
• Интервал $[-0,1; +\infty)$: знак «+».

Нам нужно, чтобы выражение было больше или равно нулю. Этому условию удовлетворяют крайние интервалы, включая их концы.

Ответ: $x \in (-\infty; -6,3] \cup [-0,1; +\infty)$.