Номер 333, страница 97 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

333. При каких значениях x имеет смысл выражение:

a) $(2x+5)(x-17)$;

б) $\sqrt{x(x+9)(2x-8)}$?

a) Выражение $\sqrt{(2x+5)(x-17)}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно, то есть больше или равно нулю. Запишем соответствующее неравенство:
$(2x+5)(x-17) \ge 0$

Для решения этого квадратичного неравенства используем метод интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $(2x+5)(x-17) = 0$:
$2x+5 = 0 \implies 2x = -5 \implies x_1 = -2.5$
$x-17 = 0 \implies x_2 = 17$

Отметим корни на числовой оси. Они разбивают ось на три интервала. Определим знак выражения $(2x+5)(x-17)$ в каждом интервале:
- в интервале $(-\infty; -2.5)$ выражение положительно (например, при $x=-3$: $(2(-3)+5)(-3-17) = (-1)(-20) = 20 > 0$);
- в интервале $(-2.5; 17)$ выражение отрицательно (например, при $x=0$: $(2(0)+5)(0-17) = (5)(-17) = -85 < 0$);
- в интервале $(17; +\infty)$ выражение положительно (например, при $x=18$: $(2(18)+5)(18-17) = (41)(1) = 41 > 0$).

Поскольку неравенство нестрогое ($\ge 0$), в решение включаются интервалы, где выражение положительно, а также сами корни.
Таким образом, $x$ должен принадлежать объединению промежутков $(-\infty; -2.5]$ и $[17; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2.5] \cup [17; +\infty)$.

б) Выражение $\sqrt{x(x+9)(2x-8)}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно. Запишем неравенство:
$x(x+9)(2x-8) \ge 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни уравнения $x(x+9)(2x-8) = 0$:
$x_1 = 0$
$x+9 = 0 \implies x_2 = -9$
$2x-8 = 0 \implies 2x = 8 \implies x_3 = 4$

Расположим корни на числовой оси в порядке возрастания: $-9$, $0$, $4$. Они разбивают ось на четыре интервала. Определим знак выражения $x(x+9)(2x-8)$ в каждом из них:
- в интервале $(-\infty; -9)$ выражение отрицательно (например, при $x=-10$: $(-10)(-1)(-28) < 0$);
- в интервале $(-9; 0)$ выражение положительно (например, при $x=-1$: $(-1)(8)(-10) > 0$);
- в интервале $(0; 4)$ выражение отрицательно (например, при $x=1$: $(1)(10)(-6) < 0$);
- в интервале $(4; +\infty)$ выражение положительно (например, при $x=5$: $(5)(14)(2) > 0$).

Поскольку неравенство нестрогое ($\ge 0$), в решение включаются интервалы, где выражение положительно, и сами корни.
Это промежутки $[-9; 0]$ и $[4; +\infty)$.

Ответ: $x \in [-9; 0] \cup [4; +\infty)$.