Номер 330, страница 96 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

330. Найдите множество решений неравенства:

а) $5(x - 13)(x + 24) < 0;$

б) $-(x + \frac{1}{7})(x + \frac{1}{3}) \ge 0;$

в) $(x + 12)(3 - x) > 0;$

г) $(6 + x)(3x - 1) \le 0.$

а) Для решения неравенства $5(x - 13)(x + 24) < 0$ воспользуемся методом интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $5(x - 13)(x + 24) = 0$. Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Так как $5 \neq 0$, то либо $x - 13 = 0$, либо $x + 24 = 0$. Отсюда получаем корни: $x_1 = 13$ и $x_2 = -24$. Нанесем эти точки на числовую ось. Так как неравенство строгое (<), точки будут выколотыми (не входящими в решение).

Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -24)$, $(-24; 13)$ и $(13; +\infty)$. Определим знак выражения $5(x - 13)(x + 24)$ на каждом интервале, подставив любое значение из него.

• При $x > 13$ (например, $x=14$): $5(14 - 13)(14 + 24) = 5 \cdot 1 \cdot 38 > 0$ (знак "+").
• При $-24 < x < 13$ (например, $x=0$): $5(0 - 13)(0 + 24) = 5 \cdot (-13) \cdot 24 < 0$ (знак "-").
• При $x < -24$ (например, $x=-25$): $5(-25 - 13)(-25 + 24) = 5 \cdot (-38) \cdot (-1) > 0$ (знак "+").

Нас интересуют значения $x$, при которых выражение меньше нуля, то есть интервал со знаком "-". Это интервал $(-24; 13)$.
Ответ: $x \in (-24; 13)$.

б) Решим неравенство $-(x + \frac{1}{7})(x + \frac{1}{3}) \geq 0$. Умножим обе части неравенства на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный: $(x + \frac{1}{7})(x + \frac{1}{3}) \leq 0$. Найдем корни уравнения $(x + \frac{1}{7})(x + \frac{1}{3}) = 0$. Корни: $x_1 = -\frac{1}{7}$ и $x_2 = -\frac{1}{3}$. Сравним корни: $-\frac{1}{3} < -\frac{1}{7}$. Нанесем точки на числовую ось. Так как неравенство нестрогое ($\leq$), точки будут закрашенными.

Определим знак выражения $(x + \frac{1}{7})(x + \frac{1}{3})$ на интервалах $(-\infty; -\frac{1}{3}]$, $[-\frac{1}{3}; -\frac{1}{7}]$ и $[-\frac{1}{7}; +\infty)$.

• При $x > -\frac{1}{7}$ (например, $x=0$): $(0 + \frac{1}{7})(0 + \frac{1}{3}) > 0$ (знак "+").
• При $-\frac{1}{3} < x < -\frac{1}{7}$ (например, $x=-0.2$): $(-0.2 + \frac{1}{7})(-0.2 + \frac{1}{3}) < 0$ (знак "-").
• При $x < -\frac{1}{3}$ (например, $x=-1$): $(-1 + \frac{1}{7})(-1 + \frac{1}{3}) > 0$ (знак "+").

Нас интересуют значения $x$, при которых выражение меньше или равно нулю. Это интервал $[-\frac{1}{3}; -\frac{1}{7}]$.
Ответ: $x \in [-\frac{1}{3}; -\frac{1}{7}]$.

в) Решим неравенство $(x + 12)(3 - x) > 0$. Для удобства приведем множитель $(3 - x)$ к стандартному виду $(x - a)$. Для этого вынесем -1 за скобку: $(x + 12) \cdot (-1) \cdot (x - 3) > 0$. Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства: $(x + 12)(x - 3) < 0$. Корни уравнения $(x + 12)(x - 3) = 0$ равны $x_1 = -12$ и $x_2 = 3$. Нанесем эти выколотые точки на числовую ось.

Определим знак выражения $(x + 12)(x - 3)$ на интервалах.

• При $x > 3$ (например, $x=4$): $(4 + 12)(4 - 3) > 0$ (знак "+").
• При $-12 < x < 3$ (например, $x=0$): $(0 + 12)(0 - 3) < 0$ (знак "-").
• При $x < -12$ (например, $x=-13$): $(-13 + 12)(-13 - 3) > 0$ (знак "+").

Нас интересует интервал, где выражение меньше нуля, то есть $(-12; 3)$.
Ответ: $x \in (-12; 3)$.

г) Решим неравенство $(6 + x)(3x - 1) \leq 0$. Найдем корни уравнения $(x + 6)(3x - 1) = 0$. $x + 6 = 0 \Rightarrow x_1 = -6$. $3x - 1 = 0 \Rightarrow 3x = 1 \Rightarrow x_2 = \frac{1}{3}$. Нанесем эти точки на числовую ось. Так как неравенство нестрогое ($\leq$), точки будут закрашенными.

Определим знак выражения $(x + 6)(3x - 1)$ на интервалах.

• При $x > \frac{1}{3}$ (например, $x=1$): $(1 + 6)(3 \cdot 1 - 1) > 0$ (знак "+").
• При $-6 < x < \frac{1}{3}$ (например, $x=0$): $(0 + 6)(3 \cdot 0 - 1) < 0$ (знак "-").
• При $x < -6$ (например, $x=-7$): $(-7 + 6)(3 \cdot (-7) - 1) > 0$ (знак "+").

Нас интересуют значения $x$, при которых выражение меньше или равно нулю. Это интервал $[-6; \frac{1}{3}]$.
Ответ: $x \in [-6; \frac{1}{3}]$.