Номер 327, страница 96 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

327. Решите неравенство:

a) $(x - 2)(x - 5)(x - 12) > 0;$

б) $(x + 7)(x + 1)(x - 4) < 0;$

в) $x(x + 1)(x + 5)(x - 8) > 0.$

а) $(x - 2)(x - 5)(x - 12) > 0$

Для решения данного неравенства воспользуемся методом интервалов.
1. Найдем нули функции $f(x) = (x - 2)(x - 5)(x - 12)$, решив уравнение $(x - 2)(x - 5)(x - 12) = 0$.
Корнями уравнения являются $x_1 = 2$, $x_2 = 5$, $x_3 = 12$.
2. Отметим эти точки на числовой прямой. Так как неравенство строгое ($>$), точки будут выколотыми. Эти точки разбивают прямую на четыре интервала: $(-\infty; 2)$, $(2; 5)$, $(5; 12)$ и $(12; +\infty)$.
3. Определим знак выражения в каждом интервале. Возьмем пробную точку из крайнего правого интервала, например, $x = 13$.
$(13 - 2)(13 - 5)(13 - 12) = 11 \cdot 8 \cdot 1 = 88 > 0$. Значит, в интервале $(12; +\infty)$ выражение положительно.
Так как все корни имеют нечетную кратность (равную 1), знаки в соседних интервалах будут чередоваться.
Таким образом, знаки на интервалах распределяются следующим образом:
$(-\infty; 2)$: знак "–"
$(2; 5)$: знак "+"
$(5; 12)$: знак "–"
$(12; +\infty)$: знак "+"
4. Нам нужно найти интервалы, где выражение больше нуля. Это интервалы со знаком "+".

Ответ: $x \in (2; 5) \cup (12; +\infty)$

б) $(x + 7)(x + 1)(x - 4) < 0$

Решаем неравенство методом интервалов.
1. Находим нули функции $f(x) = (x + 7)(x + 1)(x - 4)$, решив уравнение $(x + 7)(x + 1)(x - 4) = 0$.
Корнями являются $x_1 = -7$, $x_2 = -1$, $x_3 = 4$.
2. Отмечаем эти точки на числовой прямой. Неравенство строгое ($<$), поэтому точки выколотые. Корни разбивают прямую на интервалы: $(-\infty; -7)$, $(-7; -1)$, $(-1; 4)$ и $(4; +\infty)$.
3. Определяем знак выражения в каждом интервале. В крайнем правом интервале $(4; +\infty)$ при $x=5$ имеем $(5+7)(5+1)(5-4) > 0$.
Все корни имеют кратность 1, поэтому знаки чередуются.
Распределение знаков:
$(-\infty; -7)$: знак "–"
$(-7; -1)$: знак "+"
$(-1; 4)$: знак "–"
$(4; +\infty)$: знак "+"
4. Нам нужно найти интервалы, где выражение меньше нуля. Это интервалы со знаком "–".

Ответ: $x \in (-\infty; -7) \cup (-1; 4)$

в) $x(x + 1)(x + 5)(x - 8) > 0$

Применяем метод интервалов.
1. Находим нули функции $f(x) = x(x + 1)(x + 5)(x - 8)$, решив уравнение $x(x + 1)(x + 5)(x - 8) = 0$.
Корни уравнения (в порядке возрастания): $x_1 = -5$, $x_2 = -1$, $x_3 = 0$, $x_4 = 8$.
2. Отмечаем выколотые точки на числовой прямой, так как неравенство строгое ($>$). Точки разбивают прямую на пять интервалов: $(-\infty; -5)$, $(-5; -1)$, $(-1; 0)$, $(0; 8)$ и $(8; +\infty)$.
3. Определяем знаки. В крайнем правом интервале $(8; +\infty)$ при $x=10$ выражение $10(10+1)(10+5)(10-8)$ очевидно положительно.
Все корни имеют кратность 1, поэтому знаки чередуются.
Распределение знаков:
$(-\infty; -5)$: знак "+"
$(-5; -1)$: знак "–"
$(-1; 0)$: знак "+"
$(0; 8)$: знак "–"
$(8; +\infty)$: знак "+"
4. Выбираем интервалы, где выражение больше нуля (со знаком "+").

Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (-1; 0) \cup (8; +\infty)$