Номер 321, страница 92 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

321. Укажите все целые значения x, принадлежащие области определения функции:

a) $y = \sqrt{25 - x^2} + \sqrt{9x - x^2 - 14}$;

б) $y = \sqrt{8x - x^2 - 12} + \sqrt{16 - x^2}$.

а)

Область определения функции $y = \sqrt{25 - x^2} + \sqrt{9x - x^2 - 14}$ находится из условия, что подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Это приводит к системе неравенств:

$ \begin{cases} 25 - x^2 \ge 0, \\ 9x - x^2 - 14 \ge 0. \end{cases} $

Решим первое неравенство:

$25 - x^2 \ge 0$

$x^2 \le 25$

Решением является промежуток $x \in [-5; 5]$.

Решим второе неравенство:

$9x - x^2 - 14 \ge 0$

Умножим обе части на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный:

$x^2 - 9x + 14 \le 0$

Для решения найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 9x + 14 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 9, а их произведение равно 14. Корнями являются $x_1 = 2$ и $x_2 = 7$.

Так как парабола $y = x^2 - 9x + 14$ имеет ветви, направленные вверх, неравенство $x^2 - 9x + 14 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями.

Следовательно, решением второго неравенства является промежуток $x \in [2; 7]$.

Область определения исходной функции является пересечением решений обоих неравенств:

$D(y) = [-5; 5] \cap [2; 7] = [2; 5]$.

Найдем все целые значения $x$, принадлежащие этому промежутку: 2, 3, 4, 5.

Ответ: 2, 3, 4, 5.

б)

Область определения функции $y = \sqrt{8x - x^2 - 12} + \sqrt{16 - x^2}$ задается системой неравенств:

$ \begin{cases} 8x - x^2 - 12 \ge 0, \\ 16 - x^2 \ge 0. \end{cases} $

Решим первое неравенство:

$8x - x^2 - 12 \ge 0$

Умножим на $-1$:

$x^2 - 8x + 12 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 8x + 12 = 0$. По теореме Виета, сумма корней 8, произведение 12. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 6$.

Ветви параболы $y = x^2 - 8x + 12$ направлены вверх, поэтому решение неравенства $x^2 - 8x + 12 \le 0$ находится на промежутке между корнями.

Решением первого неравенства является промежуток $x \in [2; 6]$.

Решим второе неравенство:

$16 - x^2 \ge 0$

$x^2 \le 16$

Решением является промежуток $x \in [-4; 4]$.

Область определения функции — это пересечение найденных промежутков:

$D(y) = [2; 6] \cap [-4; 4] = [2; 4]$.

Найдем все целые значения $x$, принадлежащие этому промежутку: 2, 3, 4.

Ответ: 2, 3, 4.