Номер 331, страница 97 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

331. Решите неравенство:

а) $2(x - 18)(x - 19) > 0$;

б) $-4(x + 0,9)(x - 3,2) < 0$;

в) $(7x + 21)(x - 8,5) \le 0$;

г) $(8 - x)(x - 0,3) \ge 0$.

а) $2(x - 18)(x - 19) > 0$

Для решения данного неравенства разделим обе его части на 2. Так как 2 — положительное число, знак неравенства не изменится:

$(x - 18)(x - 19) > 0$

Воспользуемся методом интервалов. Найдем корни соответствующего уравнения $(x - 18)(x - 19) = 0$. Корнями являются $x_1 = 18$ и $x_2 = 19$.

Эти точки разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; 18)$, $(18; 19)$ и $(19; +\infty)$.

Левая часть неравенства представляет собой квадратичную функцию $y = (x - 18)(x - 19)$, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ положителен). Следовательно, функция принимает положительные значения вне интервала между корнями и отрицательные значения внутри этого интервала.

Так как нас интересуют значения, где выражение строго больше нуля, решением будут интервалы, находящиеся за пределами корней.

Ответ: $x \in (-\infty; 18) \cup (19; +\infty)$

б) $-4(x + 0,9)(x - 3,2) < 0$

Разделим обе части неравенства на -4. При делении на отрицательное число знак неравенства необходимо изменить на противоположный:

$(x + 0,9)(x - 3,2) > 0$

Применим метод интервалов. Найдем корни уравнения $(x + 0,9)(x - 3,2) = 0$. Корнями являются $x_1 = -0,9$ и $x_2 = 3,2$.

Эти точки делят числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -0,9)$, $(-0,9; 3,2)$ и $(3,2; +\infty)$.

Парабола $y = (x + 0,9)(x - 3,2)$ имеет ветви, направленные вверх. Значит, функция положительна на крайних интервалах и отрицательна на среднем.

Нас интересуют значения, где выражение больше нуля, что соответствует интервалам $(-\infty; -0,9)$ и $(3,2; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -0,9) \cup (3,2; +\infty)$

в) $(7x + 21)(x - 8,5) \le 0$

Решим неравенство методом интервалов. Сначала найдем нули левой части, решив уравнение $(7x + 21)(x - 8,5) = 0$.

Из первого множителя: $7x + 21 = 0 \Rightarrow 7x = -21 \Rightarrow x_1 = -3$.

Из второго множителя: $x - 8,5 = 0 \Rightarrow x_2 = 8,5$.

Поскольку неравенство нестрогое ($\le$), точки $x = -3$ и $x = 8,5$ являются частью решения. Отметим их на числовой оси.

Коэффициент при старшей степени $x$ положителен ($7 \cdot 1 = 7$), значит, парабола $y = (7x + 21)(x - 8,5)$ направлена ветвями вверх. Следовательно, значения функции неположительны (меньше или равны нулю) на отрезке между корнями.

Решением является отрезок, заключенный между корнями, включая сами корни.

Ответ: $x \in [-3; 8,5]$

г) $(8 - x)(x - 0,3) \ge 0$

Для удобства приведем первый множитель к стандартному виду $(x-a)$. Для этого вынесем -1 за скобку в первом множителе:

$-(x - 8)(x - 0,3) \ge 0$

Теперь умножим обе части неравенства на -1. При этом знак неравенства изменится на противоположный:

$(x - 8)(x - 0,3) \le 0$

Найдем корни уравнения $(x - 8)(x - 0,3) = 0$. Корни: $x_1 = 8$ и $x_2 = 0,3$.

Так как неравенство нестрогое ($\le$), корни $x=0,3$ и $x=8$ включаются в решение. Расположим их на числовой оси.

Парабола $y = (x - 8)(x - 0,3)$ имеет ветви, направленные вверх. Значения функции неположительны (меньше или равны нулю) на отрезке между корнями.

Таким образом, решением является отрезок между корнями, включая концы.

Ответ: $x \in [0,3; 8]$