Номер 336, страница 97 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

336. Найдите множество решений неравенства:

а) $\frac{x - 1}{x - 3} \ge 0;$ в) $\frac{2 - x}{x} \ge 0;$ д) $\frac{7x - 2}{1 - x} \ge 0;$

б) $\frac{x + 6}{x - 5} \le 0;$ г) $\frac{3 - 2x}{x - 1} \le 0;$ е) $\frac{1 - 11x}{2x - 3} \le 0.$

Для решения данных дробно-рациональных неравенств используется метод интервалов.

а) $ \frac{x-1}{x-3} \ge 0 $

1. Находим нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $ x - 1 = 0 \implies x = 1 $. Поскольку неравенство нестрогое ($ \ge $), эта точка является решением и на числовой оси отмечается закрашенной точкой.
Нуль знаменателя: $ x - 3 = 0 \implies x = 3 $. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому эта точка всегда исключается из решения и отмечается выколотой точкой.

2. Отмечаем точки на числовой оси и определяем знаки выражения в полученных интервалах: $ (-\infty, 1) $, $ (1, 3) $ и $ (3, \infty) $.

• Для интервала $ (3, \infty) $, возьмем $ x=4 $: $ \frac{4-1}{4-3} = 3 > 0 $. Знак «+».
• Для интервала $ (1, 3) $, возьмем $ x=2 $: $ \frac{2-1}{2-3} = -1 < 0 $. Знак «–».
• Для интервала $ (-\infty, 1) $, возьмем $ x=0 $: $ \frac{0-1}{0-3} = \frac{1}{3} > 0 $. Знак «+».

3. Выбираем интервалы, удовлетворяющие знаку $ \ge 0 $. Это интервалы со знаком «+», включая закрашенную точку $ x=1 $.

Ответ: $ x \in (-\infty, 1] \cup (3, \infty) $.

б) $ \frac{x+6}{x-5} \le 0 $

1. Находим нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $ x+6 = 0 \implies x = -6 $. Точка включается в решение ($ \le $).
Нуль знаменателя: $ x-5 = 0 \implies x = 5 $. Точка исключается из решения.

2. Отмечаем точки $ x=-6 $ (закрашенная) и $ x=5 $ (выколотая) на числовой оси. Интервалы: $ (-\infty, -6) $, $ (-6, 5) $ и $ (5, \infty) $.

• Для интервала $ (5, \infty) $, возьмем $ x=6 $: $ \frac{6+6}{6-5} = 12 > 0 $. Знак «+».
• Для интервала $ (-6, 5) $, возьмем $ x=0 $: $ \frac{0+6}{0-5} = -\frac{6}{5} < 0 $. Знак «–».
• Для интервала $ (-\infty, -6) $, возьмем $ x=-7 $: $ \frac{-7+6}{-7-5} = \frac{-1}{-12} > 0 $. Знак «+».

3. Выбираем интервалы со знаком «–», включая закрашенную точку $ x=-6 $.

Ответ: $ x \in [-6, 5) $.

в) $ \frac{2-x}{x} \ge 0 $

1. Находим нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $ 2-x = 0 \implies x = 2 $. Точка включается в решение ($ \ge $).
Нуль знаменателя: $ x = 0 $. Точка исключается из решения.

2. Отмечаем точки $ x=0 $ (выколотая) и $ x=2 $ (закрашенная) на числовой оси. Интервалы: $ (-\infty, 0) $, $ (0, 2) $ и $ (2, \infty) $.

• Для интервала $ (2, \infty) $, возьмем $ x=3 $: $ \frac{2-3}{3} = -\frac{1}{3} < 0 $. Знак «–».
• Для интервала $ (0, 2) $, возьмем $ x=1 $: $ \frac{2-1}{1} = 1 > 0 $. Знак «+».
• Для интервала $ (-\infty, 0) $, возьмем $ x=-1 $: $ \frac{2-(-1)}{-1} = -3 < 0 $. Знак «–».

3. Выбираем интервал со знаком «+», включая закрашенную точку $ x=2 $.

Ответ: $ x \in (0, 2] $.

г) $ \frac{3-2x}{x-1} \le 0 $

1. Находим нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $ 3-2x = 0 \implies 2x = 3 \implies x = 1.5 $. Точка включается в решение ($ \le $).
Нуль знаменателя: $ x-1 = 0 \implies x = 1 $. Точка исключается из решения.

2. Отмечаем точки $ x=1 $ (выколотая) и $ x=1.5 $ (закрашенная) на числовой оси. Интервалы: $ (-\infty, 1) $, $ (1, 1.5) $ и $ (1.5, \infty) $.

• Для интервала $ (1.5, \infty) $, возьмем $ x=2 $: $ \frac{3-2(2)}{2-1} = -1 < 0 $. Знак «–».
• Для интервала $ (1, 1.5) $, возьмем $ x=1.2 $: $ \frac{3-2(1.2)}{1.2-1} = \frac{0.6}{0.2} = 3 > 0 $. Знак «+».
• Для интервала $ (-\infty, 1) $, возьмем $ x=0 $: $ \frac{3-0}{0-1} = -3 < 0 $. Знак «–».

3. Выбираем интервалы со знаком «–», включая закрашенную точку $ x=1.5 $.

Ответ: $ x \in (-\infty, 1) \cup [1.5, \infty) $.

д) $ \frac{7x-2}{1-x} \ge 0 $

1. Находим нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $ 7x-2 = 0 \implies 7x=2 \implies x = \frac{2}{7} $. Точка включается в решение ($ \ge $).
Нуль знаменателя: $ 1-x = 0 \implies x = 1 $. Точка исключается из решения.

2. Отмечаем точки $ x=\frac{2}{7} $ (закрашенная) и $ x=1 $ (выколотая) на числовой оси. Интервалы: $ (-\infty, \frac{2}{7}) $, $ (\frac{2}{7}, 1) $ и $ (1, \infty) $.

• Для интервала $ (1, \infty) $, возьмем $ x=2 $: $ \frac{7(2)-2}{1-2} = -12 < 0 $. Знак «–».
• Для интервала $ (\frac{2}{7}, 1) $, возьмем $ x=0.5 $: $ \frac{7(0.5)-2}{1-0.5} = \frac{1.5}{0.5} = 3 > 0 $. Знак «+».
• Для интервала $ (-\infty, \frac{2}{7}) $, возьмем $ x=0 $: $ \frac{7(0)-2}{1-0} = -2 < 0 $. Знак «–».

3. Выбираем интервал со знаком «+», включая закрашенную точку $ x=\frac{2}{7} $.

Ответ: $ x \in [\frac{2}{7}, 1) $.

е) $ \frac{1-11x}{2x-3} \le 0 $

1. Находим нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $ 1-11x = 0 \implies 11x=1 \implies x = \frac{1}{11} $. Точка включается в решение ($ \le $).
Нуль знаменателя: $ 2x-3 = 0 \implies 2x=3 \implies x = 1.5 $. Точка исключается из решения.

2. Отмечаем точки $ x=\frac{1}{11} $ (закрашенная) и $ x=1.5 $ (выколотая) на числовой оси. Интервалы: $ (-\infty, \frac{1}{11}) $, $ (\frac{1}{11}, 1.5) $ и $ (1.5, \infty) $.

• Для интервала $ (1.5, \infty) $, возьмем $ x=2 $: $ \frac{1-11(2)}{2(2)-3} = \frac{-21}{1} = -21 < 0 $. Знак «–».
• Для интервала $ (\frac{1}{11}, 1.5) $, возьмем $ x=1 $: $ \frac{1-11}{2-3} = \frac{-10}{-1} = 10 > 0 $. Знак «+».
• Для интервала $ (-\infty, \frac{1}{11}) $, возьмем $ x=0 $: $ \frac{1-0}{0-3} = -\frac{1}{3} < 0 $. Знак «–».

3. Выбираем интервалы со знаком «–», включая закрашенную точку $ x=\frac{1}{11} $.

Ответ: $ x \in (-\infty, \frac{1}{11}] \cup (1.5, \infty) $.