Номер 341, страница 102 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

341. Из данных чисел

1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 7, -7

выберите те, которые являются корнями уравнения

$x^4 - x^3 - 51x^2 + 49x + 98 = 0.$

Какие из них можно исключить сразу, не подставляя их в уравнение?

Какие из них можно исключить сразу, не подставляя их в уравнение?

Для того чтобы определить, какие числа можно исключить, не выполняя подстановку, воспользуемся следствием из теоремы о рациональных корнях многочлена. Эта теорема гласит, что если многочлен с целыми коэффициентами $a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 = 0$ имеет целый корень, то этот корень является делителем свободного члена $a_0$.

В нашем уравнении $x^4 - x^3 - 51x^2 + 49x + 98 = 0$ все коэффициенты целые, а свободный член $a_0 = 98$.

Найдем все целые делители числа 98. Так как $98 = 2 \cdot 7^2$, его делителями являются числа: $ \pm 1, \pm 2, \pm 7, \pm 14, \pm 49, \pm 98$.

Теперь сравним предложенный список чисел $\{1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 7, -7\}$ с множеством делителей числа 98. Те числа из списка, которые не являются делителями 98, не могут быть целыми корнями данного уравнения.

• Числа $1, -1, 2, -2, 7, -7$ являются делителями 98.
• Числа $3, -3, 4, -4$ не являются делителями 98.

Следовательно, числа $3, -3, 4$ и $-4$ можно исключить сразу, так как они заведомо не могут быть корнями этого уравнения.

Ответ: можно исключить числа 3, -3, 4, -4.

Выберите те, которые являются корнями уравнения

После исключения чисел $3, -3, 4, -4$, нам осталось проверить оставшиеся числа из исходного списка: $\{1, -1, 2, -2, 7, -7\}$. Проверим их путем прямой подстановки в уравнение $x^4 - x^3 - 51x^2 + 49x + 98 = 0$. Обозначим левую часть уравнения как $P(x)$.

• При $x=1$:
  $P(1) = 1^4 - 1^3 - 51 \cdot 1^2 + 49 \cdot 1 + 98 = 1 - 1 - 51 + 49 + 98 = 96 \neq 0$.
  Число 1 не является корнем.
• При $x=-1$:
  $P(-1) = (-1)^4 - (-1)^3 - 51 \cdot (-1)^2 + 49 \cdot (-1) + 98 = 1 - (-1) - 51 - 49 + 98 = 1 + 1 - 51 - 49 + 98 = 2 - 100 + 98 = 0$.
  Число -1 является корнем.
• При $x=2$:
  $P(2) = 2^4 - 2^3 - 51 \cdot 2^2 + 49 \cdot 2 + 98 = 16 - 8 - 51 \cdot 4 + 98 + 98 = 8 - 204 + 196 = 0$.
  Число 2 является корнем.
• При $x=-2$:
  $P(-2) = (-2)^4 - (-2)^3 - 51 \cdot (-2)^2 + 49 \cdot (-2) + 98 = 16 - (-8) - 51 \cdot 4 - 98 + 98 = 16 + 8 - 204 = -180 \neq 0$.
  Число -2 не является корнем.
• При $x=7$:
  $P(7) = 7^4 - 7^3 - 51 \cdot 7^2 + 49 \cdot 7 + 98 = 2401 - 343 - 51 \cdot 49 + 343 + 98 = 2401 - 2499 + 98 = -98 + 98 = 0$.
  Число 7 является корнем.
• При $x=-7$:
  $P(-7) = (-7)^4 - (-7)^3 - 51 \cdot (-7)^2 + 49 \cdot (-7) + 98 = 2401 - (-343) - 51 \cdot 49 - 343 + 98 = 2401 + 343 - 2499 - 343 + 98 = 2499 - 2499 = 0$.
  Число -7 является корнем.

Таким образом, из предложенного списка корнями уравнения являются четыре числа.

Ответ: -1, 2, 7, -7.