Номер 2, страница 98 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

На примере неравенства $(x - 5)(x + 7)(x + 9) < 0$ расскажите, как решают неравенства методом интервалов.

Метод интервалов — это универсальный способ решения сложных неравенств. Его суть заключается в том, чтобы найти точки, в которых выражение в левой части неравенства равно нулю или не существует, отметить эти точки на числовой оси и определить знак выражения на каждом из получившихся интервалов. Рассмотрим этот метод на примере неравенства $(x-5)(x+7)(x+9) < 0$.

Шаг 1. Нахождение нулей функции

В первую очередь необходимо найти значения $x$, при которых левая часть неравенства обращается в ноль. Для этого приравняем ее к нулю.

$(x-5)(x+7)(x+9) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Решим три простых уравнения:

$x - 5 = 0 \implies x_1 = 5$

$x + 7 = 0 \implies x_2 = -7$

$x + 9 = 0 \implies x_3 = -9$

Мы получили три корня (или "нуля функции"): -9, -7 и 5.

Шаг 2. Нанесение нулей на числовую ось

Теперь нанесем найденные точки на числовую ось в порядке возрастания. Так как знак неравенства строгий ($<$), то сами точки не являются решением и на оси отмечаются "выколотыми" (пустыми) кружками. Эти точки делят числовую ось на четыре интервала:

$(-\infty; -9)$, $(-9; -7)$, $(-7; 5)$ и $(5; +\infty)$.

Шаг 3. Определение знаков на каждом интервале

Определим знак выражения $(x-5)(x+7)(x+9)$ на каждом из этих интервалов. Для этого возьмем любое "пробное" число из каждого интервала и подставим его в выражение.

• Интервал $(5; +\infty)$. Возьмем $x=10$.
$(10-5)(10+7)(10+9) = (+)(+)(+) \implies$ знак "+".

• Интервал $(-7; 5)$. Возьмем $x=0$.
$(0-5)(0+7)(0+9) = (-)(+)(+) \implies$ знак "-".

• Интервал $(-9; -7)$. Возьмем $x=-8$.
$(-8-5)(-8+7)(-8+9) = (-)(-)(+) \implies$ знак "+".

• Интервал $(-\infty; -9)$. Возьмем $x=-10$.
$(-10-5)(-10+7)(-10+9) = (-)(-)(-) \implies$ знак "-".

Так как все корни уравнения имеют нечетную кратность (каждая скобка в первой степени), знаки на интервалах будут чередоваться. Поэтому достаточно было определить знак в крайнем правом интервале и расставить остальные знаки поочередно.

Шаг 4. Выбор интервалов и запись ответа

Согласно условию, нам нужно найти значения $x$, при которых выражение $(x-5)(x+7)(x+9)$ меньше нуля, то есть отрицательно. Глядя на расставленные знаки, выбираем интервалы, где стоит знак "минус".

Такими интервалами являются $(-\infty; -9)$ и $(-7; 5)$.

Объединение этих интервалов является решением исходного неравенства.

Ответ: $x \in (-\infty; -9) \cup (-7; 5)$.