Номер 343, страница 102 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

343. При каких значениях p равны значения двучленов:

a) $p^3 - p^2$ и $8p - 12$;

б) $p^3 - 3p$ и $p^2 + 1?

а) Чтобы найти значения $p$, при которых значения двучленов $p^3 - p^2$ и $8p - 12$ равны, необходимо приравнять их друг к другу:

$p^3 - p^2 = 8p - 12$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить кубическое уравнение, равное нулю:

$p^3 - p^2 - 8p + 12 = 0$

Для решения этого уравнения найдем его целые корни. Согласно теореме о рациональных корнях, они должны быть среди делителей свободного члена (числа 12). Делители: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm4, \pm6, \pm12$.

Проверим значение $p = 2$:

$2^3 - 2^2 - 8(2) + 12 = 8 - 4 - 16 + 12 = 4 - 16 + 12 = 0$

Поскольку равенство верное, $p = 2$ является корнем уравнения. Это значит, что многочлен $p^3 - p^2 - 8p + 12$ делится на $(p-2)$ без остатка. Разложим многочлен на множители, используя метод группировки:

$p^3 - 2p^2 + p^2 - 2p - 6p + 12 = 0$

$p^2(p - 2) + p(p - 2) - 6(p - 2) = 0$

Вынесем общий множитель $(p-2)$ за скобки:

$(p - 2)(p^2 + p - 6) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

1) $p - 2 = 0 \implies p = 2$

2) $p^2 + p - 6 = 0$. Это квадратное уравнение можно решить, например, по теореме Виета. Сумма корней равна $-1$, а их произведение равно $-6$. Этим условиям удовлетворяют числа $2$ и $-3$.

Таким образом, уравнение имеет два различных корня: $2$ и $-3$.

Ответ: $p = -3, p = 2$.

б) Приравняем значения двучленов $p^3 - 3p$ и $p^2 + 1$:

$p^3 - 3p = p^2 + 1$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$p^3 - p^2 - 3p - 1 = 0$

Найдем целые корни среди делителей свободного члена (-1): $\pm1$.

Проверим значение $p = -1$:

$(-1)^3 - (-1)^2 - 3(-1) - 1 = -1 - 1 + 3 - 1 = 0$

Значение $p = -1$ является корнем уравнения. Следовательно, многочлен $p^3 - p^2 - 3p - 1$ можно разделить на $(p+1)$. Выполнив деление (например, столбиком), получим:

$(p + 1)(p^2 - 2p - 1) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1) $p + 1 = 0 \implies p_1 = -1$

2) $p^2 - 2p - 1 = 0$. Решим это квадратное уравнение с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

$p = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$p = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2}$

Упростим корень: $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$.

$p = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$

Отсюда получаем еще два корня: $p_2 = 1 + \sqrt{2}$ и $p_3 = 1 - \sqrt{2}$.

В итоге, мы нашли три значения $p$, при которых значения двучленов равны.

Ответ: $p = -1, p = 1 - \sqrt{2}, p = 1 + \sqrt{2}$.