Номер 345, страница 102 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

345. Известно, что график функции $y = x^4 - ax^3 - 10x^2 + 80x - 96$ пересекает ось $x$ в точке $(4; 0)$. Найдите $a$ и координаты других точек пересечения графика функции с осью $x$.

Найдите a

Поскольку график функции $y = x^4 - ax^3 - 10x^2 + 80x - 96$ проходит через точку $(4; 0)$, ее координаты должны удовлетворять уравнению функции. Подставим $x = 4$ и $y = 0$ в это уравнение:

$0 = 4^4 - a \cdot 4^3 - 10 \cdot 4^2 + 80 \cdot 4 - 96$

Выполним вычисления:

$0 = 256 - 64a - 10 \cdot 16 + 320 - 96$

$0 = 256 - 64a - 160 + 320 - 96$

Сгруппируем числовые слагаемые:

$0 = (256 - 160 + 320 - 96) - 64a$

$0 = 320 - 64a$

Решим полученное линейное уравнение относительно $a$:

$64a = 320$

$a = \frac{320}{64}$

$a = 5$

Ответ: $a = 5$.

Найдите координаты других точек пересечения графика функции с осью x

Подставив найденное значение $a=5$ в исходное уравнение, получим функцию:

$y = x^4 - 5x^3 - 10x^2 + 80x - 96$

Точки пересечения графика с осью x — это точки, в которых $y=0$. Следовательно, нам нужно найти корни уравнения:

$x^4 - 5x^3 - 10x^2 + 80x - 96 = 0$

Из условия задачи мы знаем, что $x=4$ является одним из корней. Это значит, что многочлен $x^4 - 5x^3 - 10x^2 + 80x - 96$ делится на $(x-4)$ без остатка. Выполним деление многочленов (например, в столбик или по схеме Горнера):

$(x^4 - 5x^3 - 10x^2 + 80x - 96) \div (x - 4) = x^3 - x^2 - 14x + 24$

Теперь нам нужно найти корни кубического уравнения:

$x^3 - x^2 - 14x + 24 = 0$

По теореме о рациональных корнях, целые корни этого уравнения (если они есть) должны быть делителями свободного члена 24. Проверим один из делителей, например $x=2$:

$2^3 - 2^2 - 14(2) + 24 = 8 - 4 - 28 + 24 = 0$

Так как получилось верное равенство, $x=2$ является корнем. Теперь разделим кубический многочлен на $(x-2)$:

$(x^3 - x^2 - 14x + 24) \div (x - 2) = x^2 + x - 12$

Осталось решить квадратное уравнение:

$x^2 + x - 12 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а их произведение равно $-12$. Этим условиям удовлетворяют числа $3$ и $-4$. Таким образом, $x_1=3$, $x_2=-4$.

Итак, все корни исходного многочлена: $4$ (дан по условию), $2$, $3$ и $-4$.

Другие точки пересечения графика с осью x, кроме $(4; 0)$, соответствуют корням $x=2$, $x=3$ и $x=-4$. Их координаты:

$(2; 0)$, $(3; 0)$, $(-4; 0)$.

Ответ: $(-4; 0)$, $(2; 0)$, $(3; 0)$.