Номер 340, страница 98 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

340. Два сосуда были наполнены растворами соли, причём в первом сосуде содержалось на 1 л меньше раствора, чем во втором. Концентрация раствора в первом сосуде составляла 10%, а во втором — 20%. После того как растворы слили в третий сосуд, получили новый раствор, концентрация которого составила 16%. Сколько раствора было в каждом сосуде первоначально?

Для решения задачи введем переменные. Пусть объем раствора во втором сосуде равен $x$ литров. Тогда, согласно условию, объем раствора в первом сосуде составляет $(x - 1)$ литров.

Концентрация раствора в первом сосуде составляет $10\%$ (или $0.1$), а во втором — $20\%$ (или $0.2$). Масса чистого вещества (соли) в растворе вычисляется как произведение объема раствора на его концентрацию.

Найдем массу соли в каждом сосуде:
Масса соли в первом сосуде: $M_1 = 0.1 \cdot (x - 1)$
Масса соли во втором сосуде: $M_2 = 0.2 \cdot x$

После того как растворы слили вместе, общий объем нового раствора стал суммой объемов исходных растворов:
$V_{общ} = (x - 1) + x = 2x - 1$

Общая масса соли в новом растворе также стала суммой масс соли из двух сосудов:
$M_{общ} = M_1 + M_2 = 0.1 \cdot (x - 1) + 0.2 \cdot x = 0.1x - 0.1 + 0.2x = 0.3x - 0.1$

Концентрация полученного раствора составляет $16\%$ (или $0.16$). Она равна отношению общей массы соли к общему объему раствора:
$C_{общ} = \frac{M_{общ}}{V_{общ}} = \frac{0.3x - 0.1}{2x - 1}$

Составим и решим уравнение:
$\frac{0.3x - 0.1}{2x - 1} = 0.16$

Умножим обе части уравнения на знаменатель $(2x - 1)$:
$0.3x - 0.1 = 0.16 \cdot (2x - 1)$
$0.3x - 0.1 = 0.32x - 0.16$

Теперь сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в одной части уравнения, а свободные члены — в другой:
$0.16 - 0.1 = 0.32x - 0.3x$
$0.06 = 0.02x$

Отсюда находим $x$:
$x = \frac{0.06}{0.02} = 3$

Таким образом, объем раствора во втором сосуде составлял $3$ литра. Теперь найдем объем раствора в первом сосуде:
$x - 1 = 3 - 1 = 2$ литра.

Проведем проверку:
Масса соли в 2 л 10%-го раствора: $2 \cdot 0.1 = 0.2$ кг.
Масса соли в 3 л 20%-го раствора: $3 \cdot 0.2 = 0.6$ кг.
Общий объем смеси: $2 + 3 = 5$ л.
Общая масса соли в смеси: $0.2 + 0.6 = 0.8$ кг.
Концентрация смеси: $\frac{0.8}{5} = 0.16$, что равно $16\%$. Расчеты верны.
Ответ: В первом сосуде было 2 литра раствора, во втором сосуде — 3 литра.