Номер 344, страница 102 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

344. Найдите координаты точек пересечения графика функции $y = x^3 + 4x^2 + x - 6$ с осями координат.

Для нахождения координат точек пересечения графика функции с осями координат, необходимо поочередно рассмотреть два случая: пересечение с осью ординат (Oy) и пересечение с осью абсцисс (Ox).

Точка пересечения графика с осью ординат имеет абсциссу (координату $x$), равную нулю. Чтобы найти соответствующую ординату $y$, подставим $x=0$ в уравнение функции:

$y = x^3 + 4x^2 + x - 6$

$y = 0^3 + 4 \cdot 0^2 + 0 - 6 = -6$

Таким образом, график функции пересекает ось Oy в точке с координатами $(0, -6)$.

Точки пересечения графика с осью абсцисс имеют ординату (координату $y$), равную нулю. Чтобы найти соответствующие абсциссы $x$, приравняем функцию к нулю и решим полученное уравнение:

$x^3 + 4x^2 + x - 6 = 0$

Это кубическое уравнение. Согласно теореме о рациональных корнях, если уравнение имеет целые корни, то они являются делителями свободного члена (числа $-6$). Делителями числа $-6$ являются: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$.

Проверим, является ли $x=1$ корнем уравнения:

$1^3 + 4 \cdot 1^2 + 1 - 6 = 1 + 4 + 1 - 6 = 0$

Равенство $0=0$ является верным, следовательно, $x_1=1$ — это один из корней уравнения. Это означает, что многочлен $x^3 + 4x^2 + x - 6$ можно разделить на двучлен $(x-1)$ без остатка.

Выполним деление многочлена на $(x-1)$ (например, делением в столбик или по схеме Горнера):

$(x^3 + 4x^2 + x - 6) : (x-1) = x^2 + 5x + 6$

Теперь исходное уравнение можно переписать в виде произведения:

$(x-1)(x^2 + 5x + 6) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два уравнения:

1) $x-1=0 \implies x_1 = 1$

2) $x^2 + 5x + 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-5$, а их произведение равно $6$. Методом подбора находим корни:

$x_2 = -2$ и $x_3 = -3$.

Таким образом, мы нашли три абсциссы точек пересечения с осью Ox: $1, -2, -3$.

Координаты точек пересечения с осью Ox: $(1, 0)$, $(-2, 0)$ и $(-3, 0)$.

Ответ: Точки пересечения с осью Ox: $(1, 0)$, $(-2, 0)$, $(-3, 0)$. Точка пересечения с осью Oy: $(0, -6)$.