Номер 351, страница 103 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

351. Докажите, что если число $m$ является корнем уравнения $ax^4 + bx^3 + cx^2 + bx + a = 0$, где $a, b, c$ — некоторые числа, причём $a \neq 0$, то обратное ему число также является корнем этого уравнения.

Пусть дано уравнение $ax^4 + bx^3 + cx^2 + bx + a = 0$, где $a, b, c$ — некоторые числа и $a \neq 0$.

По условию, число $m$ является корнем данного уравнения. Это означает, что при подстановке $x = m$ в уравнение получается верное числовое равенство:

$am^4 + bm^3 + cm^2 + bm + a = 0$

Требуется доказать, что обратное число $1/m$ также является корнем этого уравнения. Для этого необходимо показать, что $a(1/m)^4 + b(1/m)^3 + c(1/m)^2 + b(1/m) + a = 0$.

Сначала докажем, что $m \neq 0$. Если предположить, что $m = 0$, то при подстановке этого значения в исходное уравнение получим $a \cdot 0^4 + b \cdot 0^3 + c \cdot 0^2 + b \cdot 0 + a = 0$, что приводит к равенству $a = 0$. Это противоречит условию задачи, в котором сказано, что $a \neq 0$. Следовательно, $m \neq 0$, и выражение $1/m$ имеет смысл.

Поскольку $m \neq 0$, разделим обе части верного равенства $am^4 + bm^3 + cm^2 + bm + a = 0$ на $m^4$ (так как $m^4 \neq 0$):

$\frac{am^4 + bm^3 + cm^2 + bm + a}{m^4} = \frac{0}{m^4}$

Разделив почленно левую часть равенства, получим:

$\frac{am^4}{m^4} + \frac{bm^3}{m^4} + \frac{cm^2}{m^4} + \frac{bm}{m^4} + \frac{a}{m^4} = 0$

После упрощения дробей это равенство принимает вид:

$a + b\left(\frac{1}{m}\right) + c\left(\frac{1}{m^2}\right) + b\left(\frac{1}{m^3}\right) + a\left(\frac{1}{m^4}\right) = 0$

Переставив слагаемые в порядке убывания степеней $(1/m)$, получим:

$a\left(\frac{1}{m}\right)^4 + b\left(\frac{1}{m}\right)^3 + c\left(\frac{1}{m}\right)^2 + b\left(\frac{1}{m}\right) + a = 0$

Это равенство показывает, что число $1/m$ удовлетворяет исходному уравнению. Таким образом, $1/m$ является корнем уравнения, что и требовалось доказать.

Ответ: утверждение доказано.