Номер 354, страница 103 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

354. Решите уравнение:

a) $x^3 - x^2 - 4(x - 1)^2 = 0;$

б) $2y^3 + 2y^2 - (y + 1)^2 = 0;$

В) $5x^3 - 19x^2 - 38x + 40 = 0;$

Г) $6x^3 - 31x^2 - 31x + 6 = 0.$

а) $x^3 - x^2 - 4(x-1)^2 = 0$

Сгруппируем первые два слагаемых и вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$x^2(x-1) - 4(x-1)^2 = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(x-1)$ за скобки:

$(x-1)[x^2 - 4(x-1)] = 0$

Раскроем скобки внутри второй скобки:

$(x-1)(x^2 - 4x + 4) = 0$

Выражение во второй скобке является полным квадратом разности $(x-2)^2$:

$(x-1)(x-2)^2 = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$x-1 = 0$ или $(x-2)^2 = 0$

Отсюда находим корни:

$x_1 = 1$

$x_2 = 2$

Ответ: $1; 2$.

б) $2y^3 + 2y^2 - (y+1)^2 = 0$

Сгруппируем первые два слагаемых и вынесем общий множитель $2y^2$ за скобки:

$2y^2(y+1) - (y+1)^2 = 0$

Вынесем общий множитель $(y+1)$ за скобки:

$(y+1)[2y^2 - (y+1)] = 0$

Раскроем скобки внутри второй скобки:

$(y+1)(2y^2 - y - 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Приравниваем каждый множитель к нулю:

1) $y+1 = 0 \implies y_1 = -1$

2) $2y^2 - y - 1 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$

$y_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm 3}{4}$

$y_2 = \frac{1+3}{4} = \frac{4}{4} = 1$

$y_3 = \frac{1-3}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

Ответ: $-1; -0.5; 1$.

в) $5x^3 - 19x^2 - 38x + 40 = 0$

Это кубическое уравнение. Попробуем найти целочисленные корни среди делителей свободного члена 40: $\pm1, \pm2, \pm4, \pm5, \dots$.

Подставим $x = -2$ в уравнение:

$5(-2)^3 - 19(-2)^2 - 38(-2) + 40 = 5(-8) - 19(4) + 76 + 40 = -40 - 76 + 76 + 40 = 0$

Так как равенство верное, $x_1 = -2$ является корнем уравнения. Следовательно, многочлен делится на $(x+2)$ без остатка. Выполним деление многочлена $5x^3 - 19x^2 - 38x + 40$ на двучлен $(x+2)$ (например, столбиком или по схеме Горнера):

$(5x^3 - 19x^2 - 38x + 40) : (x+2) = 5x^2 - 29x + 20$

Тогда уравнение можно переписать в виде:

$(x+2)(5x^2 - 29x + 20) = 0$

Один корень мы уже нашли ($x_1 = -2$), теперь найдем корни квадратного уравнения $5x^2 - 29x + 20 = 0$:

$D = b^2 - 4ac = (-29)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 20 = 841 - 400 = 441 = 21^2$

$x_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{29 \pm 21}{2 \cdot 5}$

$x_2 = \frac{29+21}{10} = \frac{50}{10} = 5$

$x_3 = \frac{29-21}{10} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$

Ответ: $-2; \frac{4}{5}; 5$.

г) $6x^3 - 31x^2 - 31x + 6 = 0$

Это возвратное уравнение третьей степени. Такие уравнения всегда имеют корень $x=-1$. Проверим:

$6(-1)^3 - 31(-1)^2 - 31(-1) + 6 = -6 - 31 + 31 + 6 = 0$

Равенство верное, значит $x_1 = -1$ — корень уравнения. Разделим многочлен $6x^3 - 31x^2 - 31x + 6$ на $(x+1)$:

$(6x^3 - 31x^2 - 31x + 6) : (x+1) = 6x^2 - 37x + 6$

Получаем уравнение:

$(x+1)(6x^2 - 37x + 6) = 0$

Теперь решим квадратное уравнение $6x^2 - 37x + 6 = 0$:

$D = b^2 - 4ac = (-37)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 6 = 1369 - 144 = 1225 = 35^2$

$x_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{37 \pm 35}{2 \cdot 6}$

$x_2 = \frac{37+35}{12} = \frac{72}{12} = 6$

$x_3 = \frac{37-35}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$

Ответ: $-1; \frac{1}{6}; 6$.